Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16490 / 16490
↖ ↑ ↗
← S  1.164471°
E  1.164551°		 ← 1 221.32 m → S  1.164471°
E  1.175537°		 →
↑
1 221.32 m
↓
↑
1 221.32 m
↓
S  1.175454°
E  1.164551°		 ← 1 221.32 m →
1 491 624 m²		 S  1.175454°
E  1.175537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503250122070312 y=0.503250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503250122070312 × 215)
    floor (0.503250122070312 × 32768)
    floor (16490.5)     		tx = 16490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503250122070312 × 215)
    floor (0.503250122070312 × 32768)
    floor (16490.5)     		ty = 16490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16490 / 16490 ti = "15/16490/16490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16490/16490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16490 ÷ 215
    16490 ÷ 32768     		x = 0.50323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16490 ÷ 215
    16490 ÷ 32768     		y = 0.50323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50323486328125 × 2 - 1) × π
    0.0064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02032525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0203252454389038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02032525} λ = 0.02032525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0203252454389038))-π/2
    2×atan(0.979879919998383)-π/2
    2×0.775236240328739-π/2
    1.55047248065748-1.57079632675     		φ = -0.02032385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02032525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.164551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02032385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.164471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16490 KachelY 16490 0.02032525 -0.02032385 1.164551 -1.164471
    Oben rechts KachelX + 1 16491 KachelY 16490 0.02051699 -0.02032385 1.175537 -1.164471
    Unten links KachelX 16490 KachelY + 1 16491 0.02032525 -0.02051555 1.164551 -1.175454
    Unten rechts KachelX + 1 16491 KachelY + 1 16491 0.02051699 -0.02051555 1.175537 -1.175454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02032385--0.02051555) × R
    0.0001917 × 6371000     		dl = 1221.3207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02032385--0.02051555) × R
    0.0001917 × 6371000     		dr = 1221.3207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02032525-0.02051699) × cos(-0.02032385) × R
    0.000191739999999999 × 0.999793477669559 × 6371000     		do = 1221.32325737266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02032525-0.02051699) × cos(-0.02051555) × R
    0.000191739999999999 × 0.999789563485101 × 6371000     		du = 1221.31847590067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02032385)-sin(-0.02051555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999793477669559-0.999789563485101)×R²
    abs(0.02051699-0.02032525)×3.91418445833125e-06×R²
    0.000191739999999999×3.91418445833125e-06×6371000²
    0.000191739999999999×3.91418445833125e-06×40589641000000     		ar = 1491624.46033326m²