Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 165 / 229
↖ ↑ ↗
← S 80.415708°
E 52.031250°		 ← 26.035 km → S 80.415708°
E 53.437500°		 →
↑
25.722 km
↓
↑
25.722 km
↓
S 80.647035°
E 52.031250°		 ← 25.412 km →
661.675 km²		 S 80.647035°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.646484375 y=0.896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.646484375 × 28)
    floor (0.646484375 × 256)
    floor (165.5)     		tx = 165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896484375 × 28)
    floor (0.896484375 × 256)
    floor (229.5)     		ty = 229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 165 / 229 ti = "8/165/229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/165/229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 165 ÷ 28
    165 ÷ 256     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 229 ÷ 28
    229 ÷ 256     		y = 0.89453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89453125 × 2 - 1) × π
    -0.7890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47891295315234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47891295315234))-π/2
    2×atan(0.0838343078979861)-π/2
    2×0.0836387307887637-π/2
    0.167277461577527-1.57079632675     		φ = -1.40351887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40351887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.415708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 165 KachelY 229 0.90811663 -1.40351887 52.031250 -80.415708
    Oben rechts KachelX + 1 166 KachelY 229 0.93266032 -1.40351887 53.437500 -80.415708
    Unten links KachelX 165 KachelY + 1 230 0.90811663 -1.40755629 52.031250 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 166 KachelY + 1 230 0.93266032 -1.40755629 53.437500 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40351887--1.40755629) × R
    0.00403741999999996 × 6371000     		dl = 25722.4028199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40351887--1.40755629) × R
    0.00403741999999996 × 6371000     		dr = 25722.4028199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.93266032) × cos(-1.40351887) × R
    0.02454369 × 0.166498428261839 × 6371000     		do = 26035.0010875195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.93266032) × cos(-1.40755629) × R
    0.02454369 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 25412.2800818262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40351887)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166498428261839-0.162516017493157)×R²
    abs(0.93266032-0.90811663)×0.00398241076868142×R²
    0.02454369×0.00398241076868142×6371000²
    0.02454369×0.00398241076868142×40589641000000     		ar = 661674743.93291m²