Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16510 / 16510
↖ ↑ ↗
← S  1.384143°
E  1.384277°		 ← 1 221.28 m → S  1.384143°
E  1.395264°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
S  1.395126°
E  1.384277°		 ← 1 221.28 m →
1 491 497 m²		 S  1.395126°
E  1.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503860473632812 y=0.503860473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503860473632812 × 215)
    floor (0.503860473632812 × 32768)
    floor (16510.5)     		tx = 16510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503860473632812 × 215)
    floor (0.503860473632812 × 32768)
    floor (16510.5)     		ty = 16510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16510 / 16510 ti = "15/16510/16510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16510/16510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16510 ÷ 215
    16510 ÷ 32768     		x = 0.50384521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16510 ÷ 215
    16510 ÷ 32768     		y = 0.50384521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    0.0076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02416020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50384521484375 × 2 - 1) × π
    -0.0076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0241601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02416020} λ = 0.02416020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0241601974085083))-π/2
    2×atan(0.976129323843886)-π/2
    2×0.773319239744473-π/2
    1.54663847948895-1.57079632675     		φ = -0.02415785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02416020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02415785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.384143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16510 KachelY 16510 0.02416020 -0.02415785 1.384277 -1.384143
    Oben rechts KachelX + 1 16511 KachelY 16510 0.02435195 -0.02415785 1.395264 -1.384143
    Unten links KachelX 16510 KachelY + 1 16511 0.02416020 -0.02434954 1.384277 -1.395126
    Unten rechts KachelX + 1 16511 KachelY + 1 16511 0.02435195 -0.02434954 1.395264 -1.395126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02415785--0.02434954) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dl = 1221.25698999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02415785--0.02434954) × R
    0.000191689999999998 × 6371000     		dr = 1221.25698999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(-0.02415785) × R
    0.000191750000000001 × 0.999708213332703 × 6371000     		do = 1221.28279195461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02416020-0.02435195) × cos(-0.02434954) × R
    0.000191750000000001 × 0.99970356459771 × 6371000     		du = 1221.27711287748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02415785)-sin(-0.02434954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999708213332703-0.99970356459771)×R²
    abs(0.02435195-0.02416020)×4.64873499284035e-06×R²
    0.000191750000000001×4.64873499284035e-06×6371000²
    0.000191750000000001×4.64873499284035e-06×40589641000000     		ar = 1491496.68320202m²