Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16511 / 16511
↖ ↑ ↗
← S  1.395126°
E  1.395264°		 ← 1 221.21 m → S  1.395126°
E  1.406250°		 →
↑
1 221.26 m
↓
↑
1 221.26 m
↓
S  1.406109°
E  1.395264°		 ← 1 221.21 m →
1 491 412 m²		 S  1.406109°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503890991210938 y=0.503890991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503890991210938 × 215)
    floor (0.503890991210938 × 32768)
    floor (16511.5)     		tx = 16511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503890991210938 × 215)
    floor (0.503890991210938 × 32768)
    floor (16511.5)     		ty = 16511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16511 / 16511 ti = "15/16511/16511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16511/16511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16511 ÷ 215
    16511 ÷ 32768     		x = 0.503875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16511 ÷ 215
    16511 ÷ 32768     		y = 0.503875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503875732421875 × 2 - 1) × π
    0.00775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02435195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0243519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02435195} λ = 0.02435195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0243519450069885))-π/2
    2×atan(0.975942171333828)-π/2
    2×0.773223394142477-π/2
    1.54644678828495-1.57079632675     		φ = -0.02434954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02435195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02434954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.395126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16511 KachelY 16511 0.02435195 -0.02434954 1.395264 -1.395126
    Oben rechts KachelX + 1 16512 KachelY 16511 0.02454369 -0.02434954 1.406250 -1.395126
    Unten links KachelX 16511 KachelY + 1 16512 0.02435195 -0.02454123 1.395264 -1.406109
    Unten rechts KachelX + 1 16512 KachelY + 1 16512 0.02454369 -0.02454123 1.406250 -1.406109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02434954--0.02454123) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dl = 1221.25699000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02434954--0.02454123) × R
    0.000191690000000001 × 6371000     		dr = 1221.25699000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02435195-0.02454369) × cos(-0.02434954) × R
    0.000191739999999999 × 0.99970356459771 × 6371000     		do = 1221.21342176337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02435195-0.02454369) × cos(-0.02454123) × R
    0.000191739999999999 × 0.999698879128554 × 6371000     		du = 1221.20769810885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02434954)-sin(-0.02454123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99970356459771-0.999698879128554)×R²
    abs(0.02454369-0.02435195)×4.68546915632917e-06×R²
    0.000191739999999999×4.68546915632917e-06×6371000²
    0.000191739999999999×4.68546915632917e-06×40589641000000     		ar = 1491411.93715065m²