Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16512 / 49280
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
W134.648438°		 ← 231.51 m → N 40.713956°
W134.645691°		 →
↑
231.46 m
↓
↑
231.46 m
↓
N 40.711874°
W134.648438°		 ← 231.51 m →
53 585 m²		 N 40.711874°
W134.645691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125980377197266 y=0.375980377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125980377197266 × 217)
    floor (0.125980377197266 × 131072)
    floor (16512.5)     		tx = 16512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375980377197266 × 217)
    floor (0.375980377197266 × 131072)
    floor (49280.5)     		ty = 49280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16512 / 49280 ti = "17/16512/49280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16512/49280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16512 ÷ 217
    16512 ÷ 131072     		x = 0.1259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49280 ÷ 217
    49280 ÷ 131072     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1259765625 × 2 - 1) × π
    -0.748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35005857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35005857} λ = -2.35005857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35005857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.648438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16512 KachelY 49280 -2.35005857 0.71059258 -134.648438 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 16513 KachelY 49280 -2.35001063 0.71059258 -134.645691 40.713956
    Unten links KachelX 16512 KachelY + 1 49281 -2.35005857 0.71055625 -134.648438 40.711874
    Unten rechts KachelX + 1 16513 KachelY + 1 49281 -2.35001063 0.71055625 -134.645691 40.711874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.71055625) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dl = 231.458430000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.71055625) × R
    3.63300000000288e-05 × 6371000     		dr = 231.458430000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35005857--2.35001063) × cos(0.71059258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 231.505221638592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35005857--2.35001063) × cos(0.71055625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757999176150164 × 6371000     		du = 231.512459294902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.71055625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.757999176150164)×R²
    abs(-2.35001063--2.35005857)×2.36969428646372e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36969428646372e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36969428646372e-05×40589641000000     		ar = 53584.6727514654m²