Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16520 / 16264
↖ ↑ ↗
← N  1.318243°
E  1.494140°		 ← 1 221.32 m → N  1.318243°
E  1.505127°		 →
↑
1 221.32 m
↓
↑
1 221.32 m
↓
N  1.307259°
E  1.494140°		 ← 1 221.32 m →
1 491 622 m²		 N  1.307259°
E  1.505127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504165649414062 y=0.496353149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504165649414062 × 215)
    floor (0.504165649414062 × 32768)
    floor (16520.5)     		tx = 16520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.496353149414062 × 215)
    floor (0.496353149414062 × 32768)
    floor (16264.5)     		ty = 16264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16520 / 16264 ti = "15/16520/16264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16520/16264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16520 ÷ 215
    16520 ÷ 32768     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16264 ÷ 215
    16264 ÷ 32768     		y = 0.496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.496337890625 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.023009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.023009711817627))-π/2
    2×atan(1.02327647737349)-π/2
    2×0.796902004239018-π/2
    1.59380400847804-1.57079632675     		φ = 0.02300768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02300768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.318243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16520 KachelY 16264 0.02607767 0.02300768 1.494140 1.318243
    Oben rechts KachelX + 1 16521 KachelY 16264 0.02626942 0.02300768 1.505127 1.318243
    Unten links KachelX 16520 KachelY + 1 16265 0.02607767 0.02281598 1.494140 1.307259
    Unten rechts KachelX + 1 16521 KachelY + 1 16265 0.02626942 0.02281598 1.505127 1.307259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02300768-0.02281598) × R
    0.0001917 × 6371000     		dl = 1221.3207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02300768-0.02281598) × R
    0.0001917 × 6371000     		dr = 1221.3207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02626942) × cos(0.02300768) × R
    0.000191750000000001 × 0.999735335005926 × 6371000     		do = 1221.31592485514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02626942) × cos(0.02281598) × R
    0.000191750000000001 × 0.999739726819458 × 6371000     		du = 1221.32129006693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02300768)-sin(0.02281598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999735335005926-0.999739726819458)×R²
    abs(0.02626942-0.02607767)×4.39181353217855e-06×R²
    0.000191750000000001×4.39181353217855e-06×6371000²
    0.000191750000000001×4.39181353217855e-06×40589641000000     		ar = 1491621.7011553m²