Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16528 / 16528
↖ ↑ ↗
← S  1.581830°
E  1.582031°		 ← 1 221.17 m → S  1.581830°
E  1.593017°		 →
↑
1 221.13 m
↓
↑
1 221.13 m
↓
S  1.592812°
E  1.582031°		 ← 1 221.17 m →
1 491 207 m²		 S  1.592812°
E  1.593017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504409790039062 y=0.504409790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504409790039062 × 215)
    floor (0.504409790039062 × 32768)
    floor (16528.5)     		tx = 16528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504409790039062 × 215)
    floor (0.504409790039062 × 32768)
    floor (16528.5)     		ty = 16528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16528 / 16528 ti = "15/16528/16528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16528/16528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16528 ÷ 215
    16528 ÷ 32768     		x = 0.50439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16528 ÷ 215
    16528 ÷ 32768     		y = 0.50439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02761165} λ = 0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(0.972766063091431)-π/2
    2×0.771594090240941-π/2
    1.54318818048188-1.57079632675     		φ = -0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16528 KachelY 16528 0.02761165 -0.02760815 1.582031 -1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 16529 KachelY 16528 0.02780340 -0.02760815 1.593017 -1.581830
    Unten links KachelX 16528 KachelY + 1 16529 0.02761165 -0.02779982 1.582031 -1.592812
    Unten rechts KachelX + 1 16529 KachelY + 1 16529 0.02780340 -0.02779982 1.593017 -1.592812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02760815--0.02779982) × R
    0.000191669999999998 × 6371000     		dl = 1221.12956999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02760815--0.02779982) × R
    0.000191669999999998 × 6371000     		dr = 1221.12956999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02761165-0.02780340) × cos(-0.02760815) × R
    0.000191749999999997 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 1221.17370677761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02761165-0.02780340) × cos(-0.02779982) × R
    0.000191749999999997 × 0.999613609889434 × 6371000     		du = 1221.1672206751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02760815)-sin(-0.02779982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.999613609889434)×R²
    abs(0.02780340-0.02761165)×5.30934357290125e-06×R²
    0.000191749999999997×5.30934357290125e-06×6371000²
    0.000191749999999997×5.30934357290125e-06×40589641000000     		ar = 1491207.36783211m²