Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16546 / 16546
↖ ↑ ↗
← S  1.779499°
E  1.779785°		 ← 1 221.05 m → S  1.779499°
E  1.790772°		 →
↑
1 221 m
↓
↑
1 221 m
↓
S  1.790480°
E  1.779785°		 ← 1 221.04 m →
1 490 900 m²		 S  1.790480°
E  1.790772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504959106445312 y=0.504959106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504959106445312 × 215)
    floor (0.504959106445312 × 32768)
    floor (16546.5)     		tx = 16546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504959106445312 × 215)
    floor (0.504959106445312 × 32768)
    floor (16546.5)     		ty = 16546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16546 / 16546 ti = "15/16546/16546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16546/16546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16546 ÷ 215
    16546 ÷ 32768     		x = 0.50494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16546 ÷ 215
    16546 ÷ 32768     		y = 0.50494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03106311} λ = 0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0310631109537964))-π/2
    2×atan(0.969414390478593)-π/2
    2×0.769869105094811-π/2
    1.53973821018962-1.57079632675     		φ = -0.03105812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03105812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.779499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16546 KachelY 16546 0.03106311 -0.03105812 1.779785 -1.779499
    Oben rechts KachelX + 1 16547 KachelY 16546 0.03125486 -0.03105812 1.790772 -1.779499
    Unten links KachelX 16546 KachelY + 1 16547 0.03106311 -0.03124977 1.779785 -1.790480
    Unten rechts KachelX + 1 16547 KachelY + 1 16547 0.03125486 -0.03124977 1.790772 -1.790480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03105812--0.03124977) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dl = 1221.00214999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03105812--0.03124977) × R
    0.000191649999999998 × 6371000     		dr = 1221.00214999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03106311-0.03125486) × cos(-0.03105812) × R
    0.000191750000000001 × 0.999517735359216 × 6371000     		do = 1221.05009658594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03106311-0.03125486) × cos(-0.03124977) × R
    0.000191750000000001 × 0.99951176567144 × 6371000     		du = 1221.04280378104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03105812)-sin(-0.03124977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999517735359216-0.99951176567144)×R²
    abs(0.03125486-0.03106311)×5.96968777577533e-06×R²
    0.000191750000000001×5.96968777577533e-06×6371000²
    0.000191750000000001×5.96968777577533e-06×40589641000000     		ar = 1490900.34548726m²