Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1656 / 2680
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 34.453125°		 ← 6 481.10 m → S 48.458352°
W 34.365234°		 →
↑
6 477.40 m
↓
↑
6 477.40 m
↓
S 48.516604°
W 34.453125°		 ← 6 473.66 m →
41 956 528 m²		 S 48.516604°
W 34.365234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4044189453125 y=0.6544189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4044189453125 × 212)
    floor (0.4044189453125 × 4096)
    floor (1656.5)     		tx = 1656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6544189453125 × 212)
    floor (0.6544189453125 × 4096)
    floor (2680.5)     		ty = 2680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1656 / 2680 ti = "12/1656/2680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1656/2680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1656 ÷ 212
    1656 ÷ 4096     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2680 ÷ 212
    2680 ÷ 4096     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1656 KachelY 2680 -0.60132047 -0.84575779 -34.453125 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 1657 KachelY 2680 -0.59978649 -0.84575779 -34.365234 -48.458352
    Unten links KachelX 1656 KachelY + 1 2681 -0.60132047 -0.84677449 -34.453125 -48.516604
    Unten rechts KachelX + 1 1657 KachelY + 1 2681 -0.59978649 -0.84677449 -34.365234 -48.516604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84677449) × R
    0.00101670000000009 × 6371000     		dl = 6477.39570000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84677449) × R
    0.00101670000000009 × 6371000     		dr = 6477.39570000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.59978649) × cos(-0.84575779) × R
    0.00153398000000005 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 6481.09567659658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.59978649) × cos(-0.84677449) × R
    0.00153398000000005 × 0.662402970941446 × 6371000     		du = 6473.65534556307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84677449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.662402970941446)×R²
    abs(-0.59978649--0.60132047)×0.000761315998195178×R²
    0.00153398000000005×0.000761315998195178×6371000²
    0.00153398000000005×0.000761315998195178×40589641000000     		ar = 41956527.8968909m²