Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 166 / 40
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 53.437500°		 ← 35.598 km → N 76.840817°
E 54.843750°		 →
↑
36.027 km
↓
↑
36.027 km
↓
N 76.516819°
E 53.437500°		 ← 36.459 km →
1 298 km²		 N 76.516819°
E 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650390625 y=0.158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650390625 × 28)
    floor (0.650390625 × 256)
    floor (166.5)     		tx = 166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158203125 × 28)
    floor (0.158203125 × 256)
    floor (40.5)     		ty = 40
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 166 / 40 ti = "8/166/40"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/166/40.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 166 ÷ 28
    166 ÷ 256     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40 ÷ 28
    40 ÷ 256     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 166 KachelY 40 0.93266032 1.34112525 53.437500 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 167 KachelY 40 0.95720401 1.34112525 54.843750 76.840817
    Unten links KachelX 166 KachelY + 1 41 0.93266032 1.33547042 53.437500 76.516819
    Unten rechts KachelX + 1 167 KachelY + 1 41 0.95720401 1.33547042 54.843750 76.516819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.33547042) × R
    0.00565482999999989 × 6371000     		dl = 36026.9219299993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.33547042) × R
    0.00565482999999989 × 6371000     		dr = 36026.9219299993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.95720401) × cos(1.34112525) × R
    0.02454369 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 35598.2744483725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.95720401) × cos(1.33547042) × R
    0.02454369 × 0.233159922173044 × 6371000     		du = 36458.7155008747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.33547042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.233159922173044)×R²
    abs(0.95720401-0.93266032)×0.00550267243592553×R²
    0.02454369×0.00550267243592553×6371000²
    0.02454369×0.00550267243592553×40589641000000     		ar = 1297999234.56248m²