Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1660 / 2700
↖ ↑ ↗
← S 49.610710°
W 34.101563°		 ← 6 332.72 m → S 49.610710°
W 34.013672°		 →
↑
6 329.02 m
↓
↑
6 329.02 m
↓
S 49.667628°
W 34.101563°		 ← 6 325.32 m →
40 056 455 m²		 S 49.667628°
W 34.013672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4053955078125 y=0.6593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4053955078125 × 212)
    floor (0.4053955078125 × 4096)
    floor (1660.5)     		tx = 1660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6593017578125 × 212)
    floor (0.6593017578125 × 4096)
    floor (2700.5)     		ty = 2700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1660 / 2700 ti = "12/1660/2700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1660/2700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1660 ÷ 212
    1660 ÷ 4096     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2700 ÷ 212
    2700 ÷ 4096     		y = 0.6591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00015547367285))-π/2
    2×atan(0.367822250049529)-π/2
    2×0.352463047071076-π/2
    0.704926094142153-1.57079632675     		φ = -0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1660 KachelY 2700 -0.59518455 -0.86587023 -34.101563 -49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 1661 KachelY 2700 -0.59365056 -0.86587023 -34.013672 -49.610710
    Unten links KachelX 1660 KachelY + 1 2701 -0.59518455 -0.86686364 -34.101563 -49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 1661 KachelY + 1 2701 -0.59365056 -0.86686364 -34.013672 -49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86587023--0.86686364) × R
    0.000993410000000083 × 6371000     		dl = 6329.01511000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86587023--0.86686364) × R
    0.000993410000000083 × 6371000     		dr = 6329.01511000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(-0.86587023) × R
    0.00153398999999999 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 6332.71710701666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59365056) × cos(-0.86686364) × R
    0.00153398999999999 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 6325.31930166489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86587023)-sin(-0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.647220582517329)×R²
    abs(-0.59365056--0.59518455)×0.00075695971393297×R²
    0.00153398999999999×0.00075695971393297×6371000²
    0.00153398999999999×0.00075695971393297×40589641000000     		ar = 40056455.1409281m²