Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16632 / 16648
↖ ↑ ↗
← S  2.899153°
E  2.724609°		 ← 1 220.08 m → S  2.899153°
E  2.735596°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
S  2.910125°
E  2.724609°		 ← 1 220.06 m →
1 488 542 m²		 S  2.910125°
E  2.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507583618164062 y=0.508071899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507583618164062 × 215)
    floor (0.507583618164062 × 32768)
    floor (16632.5)     		tx = 16632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508071899414062 × 215)
    floor (0.508071899414062 × 32768)
    floor (16648.5)     		ty = 16648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16632 / 16648 ti = "15/16632/16648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16632/16648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16632 ÷ 215
    16632 ÷ 32768     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16648 ÷ 215
    16648 ÷ 32768     		y = 0.508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(0.95063854647406)-π/2
    2×0.760098283344682-π/2
    1.52019656668936-1.57079632675     		φ = -0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16632 KachelY 16648 0.04755340 -0.05059976 2.724609 -2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 16633 KachelY 16648 0.04774515 -0.05059976 2.735596 -2.899153
    Unten links KachelX 16632 KachelY + 1 16649 0.04755340 -0.05079126 2.724609 -2.910125
    Unten rechts KachelX + 1 16633 KachelY + 1 16649 0.04774515 -0.05079126 2.735596 -2.910125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05059976--0.05079126) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05059976--0.05079126) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(-0.05059976) × R
    0.000191749999999997 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 1220.07568034845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(-0.05079126) × R
    0.000191749999999997 × 0.998710401226665 × 6371000     		du = 1220.06382552173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05059976)-sin(-0.05079126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.998710401226665)×R²
    abs(0.04774515-0.04755340)×9.70403228683914e-06×R²
    0.000191749999999997×9.70403228683914e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.70403228683914e-06×40589641000000     		ar = 1488541.83637331m²