Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16639 / 16641
↖ ↑ ↗
← S  2.822344°
E  2.801514°		 ← 1 220.16 m → S  2.822344°
E  2.812500°		 →
↑
1 220.11 m
↓
↑
1 220.11 m
↓
S  2.833317°
E  2.801514°		 ← 1 220.15 m →
1 488 719 m²		 S  2.833317°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507797241210938 y=0.507858276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507797241210938 × 215)
    floor (0.507797241210938 × 32768)
    floor (16639.5)     		tx = 16639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		ty = 16641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16639 / 16641 ti = "15/16639/16641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16639/16641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16639 ÷ 215
    16639 ÷ 32768     		x = 0.507781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		y = 0.507843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507781982421875 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.01568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0492791328094177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04889564} λ = 0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0492791328094177))-π/2
    2×atan(0.951915381795902)-π/2
    2×0.760768563531641-π/2
    1.52153712706328-1.57079632675     		φ = -0.04925920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04925920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.822344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16639 KachelY 16641 0.04889564 -0.04925920 2.801514 -2.822344
    Oben rechts KachelX + 1 16640 KachelY 16641 0.04908739 -0.04925920 2.812500 -2.822344
    Unten links KachelX 16639 KachelY + 1 16642 0.04889564 -0.04945071 2.801514 -2.833317
    Unten rechts KachelX + 1 16640 KachelY + 1 16642 0.04908739 -0.04945071 2.812500 -2.833317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04925920--0.04945071) × R
    0.000191509999999999 × 6371000     		dl = 1220.11020999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04925920--0.04945071) × R
    0.000191509999999999 × 6371000     		dr = 1220.11020999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04889564-0.04908739) × cos(-0.04925920) × R
    0.000191750000000004 × 0.998787010910787 × 6371000     		do = 1220.15741491882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04889564-0.04908739) × cos(-0.04945071) × R
    0.000191750000000004 × 0.998777562780262 × 6371000     		du = 1220.14587271173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04925920)-sin(-0.04945071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998787010910787-0.998777562780262)×R²
    abs(0.04908739-0.04889564)×9.44813052550231e-06×R²
    0.000191750000000004×9.44813052550231e-06×6371000²
    0.000191750000000004×9.44813052550231e-06×40589641000000     		ar = 1488719.48291735m²