Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1664 / 2688
↖ ↑ ↗
← S 48.922499°
W 33.750000°		 ← 6 421.63 m → S 48.922499°
W 33.662109°		 →
↑
6 417.89 m
↓
↑
6 417.89 m
↓
S 48.980217°
W 33.750000°		 ← 6 414.20 m →
41 189 478 m²		 S 48.980217°
W 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4063720703125 y=0.6563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4063720703125 × 212)
    floor (0.4063720703125 × 4096)
    floor (1664.5)     		tx = 1664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6563720703125 × 212)
    floor (0.6563720703125 × 4096)
    floor (2688.5)     		ty = 2688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1664 / 2688 ti = "12/1664/2688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1664/2688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1664 ÷ 212
    1664 ÷ 4096     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2688 ÷ 212
    2688 ÷ 4096     		y = 0.65625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65625 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98174770421875))-π/2
    2×atan(0.374655738915071)-π/2
    2×0.358468818178126-π/2
    0.716937636356251-1.57079632675     		φ = -0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1664 KachelY 2688 -0.58904862 -0.85385869 -33.750000 -48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 1665 KachelY 2688 -0.58751464 -0.85385869 -33.662109 -48.922499
    Unten links KachelX 1664 KachelY + 1 2689 -0.58904862 -0.85486605 -33.750000 -48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 1665 KachelY + 1 2689 -0.58751464 -0.85486605 -33.662109 -48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85385869--0.85486605) × R
    0.00100736000000001 × 6371000     		dl = 6417.89056000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85385869--0.85486605) × R
    0.00100736000000001 × 6371000     		dr = 6417.89056000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58751464) × cos(-0.85385869) × R
    0.00153398000000005 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 6421.62700002564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58751464) × cos(-0.85486605) × R
    0.00153398000000005 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 6414.20243409924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85385869)-sin(-0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.58751464--0.58904862)×0.000759702867247802×R²
    0.00153398000000005×0.000759702867247802×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759702867247802×40589641000000     		ar = 41189477.7606891m²