Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1664 / 2944
↖ ↑ ↗
← S 61.606397°
W 33.750000°		 ← 4 647.31 m → S 61.606397°
W 33.662109°		 →
↑
4 644.14 m
↓
↑
4 644.14 m
↓
S 61.648162°
W 33.750000°		 ← 4 641.04 m →
21 568 202 m²		 S 61.648162°
W 33.662109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4063720703125 y=0.7188720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4063720703125 × 212)
    floor (0.4063720703125 × 4096)
    floor (1664.5)     		tx = 1664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7188720703125 × 212)
    floor (0.7188720703125 × 4096)
    floor (2944.5)     		ty = 2944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1664 / 2944 ti = "12/1664/2944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1664/2944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1664 ÷ 212
    1664 ÷ 4096     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2944 ÷ 212
    2944 ÷ 4096     		y = 0.71875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71875 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37444678590625))-π/2
    2×atan(0.252979508929992)-π/2
    2×0.2477809349221-π/2
    0.4955618698442-1.57079632675     		φ = -1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1664 KachelY 2944 -0.58904862 -1.07523446 -33.750000 -61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 1665 KachelY 2944 -0.58751464 -1.07523446 -33.662109 -61.606397
    Unten links KachelX 1664 KachelY + 1 2945 -0.58904862 -1.07596341 -33.750000 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 1665 KachelY + 1 2945 -0.58751464 -1.07596341 -33.662109 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07523446--1.07596341) × R
    0.000728950000000061 × 6371000     		dl = 4644.14045000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07523446--1.07596341) × R
    0.000728950000000061 × 6371000     		dr = 4644.14045000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58751464) × cos(-1.07523446) × R
    0.00153398000000005 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 4647.30923072104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58751464) × cos(-1.07596341) × R
    0.00153398000000005 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 4641.0409855546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07523446)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.58751464--0.58904862)×0.000641384812628487×R²
    0.00153398000000005×0.000641384812628487×6371000²
    0.00153398000000005×0.000641384812628487×40589641000000     		ar = 21568202.4316419m²