Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1664 / 641
↖ ↑ ↗
← N 55.677585°
E112.500000°		 ← 11.021 km → N 55.677585°
E112.675781°		 →
↑
11.035 km
↓
↑
11.035 km
↓
N 55.578345°
E112.500000°		 ← 11.049 km →
121.770 km²		 N 55.578345°
E112.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812744140625 y=0.313232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812744140625 × 211)
    floor (0.812744140625 × 2048)
    floor (1664.5)     		tx = 1664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313232421875 × 211)
    floor (0.313232421875 × 2048)
    floor (641.5)     		ty = 641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1664 / 641 ti = "11/1664/641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1664/641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1664 ÷ 211
    1664 ÷ 2048     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 641 ÷ 211
    641 ÷ 2048     		y = 0.31298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31298828125 × 2 - 1) × π
    0.3740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17502928348682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17502928348682))-π/2
    2×atan(3.23823776934257)-π/2
    2×1.27127674715327-π/2
    2.54255349430654-1.57079632675     		φ = 0.97175717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97175717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.677585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1664 KachelY 641 1.96349541 0.97175717 112.500000 55.677585
    Oben rechts KachelX + 1 1665 KachelY 641 1.96656337 0.97175717 112.675781 55.677585
    Unten links KachelX 1664 KachelY + 1 642 1.96349541 0.97002511 112.500000 55.578345
    Unten rechts KachelX + 1 1665 KachelY + 1 642 1.96656337 0.97002511 112.675781 55.578345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97175717-0.97002511) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dl = 11034.9542599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97175717-0.97002511) × R
    0.00173205999999992 × 6371000     		dr = 11034.9542599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96656337) × cos(0.97175717) × R
    0.00306796000000009 × 0.563849194755044 × 6371000     		do = 11020.98122697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96656337) × cos(0.97002511) × R
    0.00306796000000009 × 0.56527881810188 × 6371000     		du = 11048.9246065362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97175717)-sin(0.97002511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563849194755044-0.56527881810188)×R²
    abs(1.96656337-1.96349541)×0.00142962334683661×R²
    0.00306796000000009×0.00142962334683661×6371000²
    0.00306796000000009×0.00142962334683661×40589641000000     		ar = 121770231.140495m²