Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16640 / 16128
↖ ↑ ↗
← N  2.811371°
E  2.812500°		 ← 1 220.11 m → N  2.811371°
E  2.823486°		 →
↑
1 220.11 m
↓
↑
1 220.11 m
↓
N  2.800398°
E  2.812500°		 ← 1 220.12 m →
1 488 670 m²		 N  2.800398°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507827758789062 y=0.492202758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507827758789062 × 215)
    floor (0.507827758789062 × 32768)
    floor (16640.5)     		tx = 16640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492202758789062 × 215)
    floor (0.492202758789062 × 32768)
    floor (16128.5)     		ty = 16128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16640 / 16128 ti = "15/16640/16128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16640/16128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16640 ÷ 215
    16640 ÷ 32768     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16128 ÷ 215
    16128 ÷ 32768     		y = 0.4921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4921875 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0490873852109375))-π/2
    2×atan(1.05031212847686)-π/2
    2×0.809932005306423-π/2
    1.61986401061285-1.57079632675     		φ = 0.04906768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04906768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.811371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16640 KachelY 16128 0.04908739 0.04906768 2.812500 2.811371
    Oben rechts KachelX + 1 16641 KachelY 16128 0.04927913 0.04906768 2.823486 2.811371
    Unten links KachelX 16640 KachelY + 1 16129 0.04908739 0.04887617 2.812500 2.800398
    Unten rechts KachelX + 1 16641 KachelY + 1 16129 0.04927913 0.04887617 2.823486 2.800398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04906768-0.04887617) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dl = 1220.11021000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04906768-0.04887617) × R
    0.000191510000000006 × 6371000     		dr = 1220.11021000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(0.04906768) × R
    0.000191739999999996 × 0.9987964229002 × 6371000     		do = 1220.10527965435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(0.04887617) × R
    0.000191739999999996 × 0.998805797765283 × 6371000     		du = 1220.11673176023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04906768)-sin(0.04887617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9987964229002-0.998805797765283)×R²
    abs(0.04927913-0.04908739)×9.37486508278962e-06×R²
    0.000191739999999996×9.37486508278962e-06×6371000²
    0.000191739999999996×9.37486508278962e-06×40589641000000     		ar = 1488669.89994674m²