Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16641 / 17153
↖ ↑ ↗
← S  8.418036°
E  2.823486°		 ← 1 208.48 m → S  8.418036°
E  2.834473°		 →
↑
1 208.45 m
↓
↑
1 208.45 m
↓
S  8.428904°
E  2.823486°		 ← 1 208.44 m →
1 460 366 m²		 S  8.428904°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507858276367188 y=0.523483276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		tx = 16641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523483276367188 × 215)
    floor (0.523483276367188 × 32768)
    floor (17153.5)     		ty = 17153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16641 / 17153 ti = "15/16641/17153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16641/17153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17153 ÷ 215
    17153 ÷ 32768     		y = 0.523468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.04693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.147453903231293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147453903231293))-π/2
    2×atan(0.862902214408388)-π/2
    2×0.711936938573608-π/2
    1.42387387714722-1.57079632675     		φ = -0.14692245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14692245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.418036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16641 KachelY 17153 0.04927913 -0.14692245 2.823486 -8.418036
    Oben rechts KachelX + 1 16642 KachelY 17153 0.04947088 -0.14692245 2.834473 -8.418036
    Unten links KachelX 16641 KachelY + 1 17154 0.04927913 -0.14711213 2.823486 -8.428904
    Unten rechts KachelX + 1 16642 KachelY + 1 17154 0.04947088 -0.14711213 2.834473 -8.428904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14692245--0.14711213) × R
    0.000189679999999998 × 6371000     		dl = 1208.45127999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14692245--0.14711213) × R
    0.000189679999999998 × 6371000     		dr = 1208.45127999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(-0.14692245) × R
    0.000191750000000004 × 0.989226298057673 × 6371000     		do = 1208.47767283948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(-0.14711213) × R
    0.000191750000000004 × 0.989198512165559 × 6371000     		du = 1208.44372850308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14692245)-sin(-0.14711213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989226298057673-0.989198512165559)×R²
    abs(0.04947088-0.04927913)×2.77858921140517e-05×R²
    0.000191750000000004×2.77858921140517e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.77858921140517e-05×40589641000000     		ar = 1460365.88493455m²