Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16643 / 16645
↖ ↑ ↗
← S  2.866236°
E  2.845459°		 ← 1 220.11 m → S  2.866236°
E  2.856446°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
S  2.877208°
E  2.845459°		 ← 1 220.10 m →
1 488 585 m²		 S  2.877208°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507919311523438 y=0.507980346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507919311523438 × 215)
    floor (0.507919311523438 × 32768)
    floor (16643.5)     		tx = 16643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507980346679688 × 215)
    floor (0.507980346679688 × 32768)
    floor (16645.5)     		ty = 16645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16643 / 16645 ti = "15/16643/16645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16643/16645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16643 ÷ 215
    16643 ÷ 32768     		x = 0.507904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16645 ÷ 215
    16645 ÷ 32768     		y = 0.507965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507904052734375 × 2 - 1) × π
    0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04966263} λ = 0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0500461232033386))-π/2
    2×atan(0.951185551764329)-π/2
    2×0.760385540780302-π/2
    1.5207710815606-1.57079632675     		φ = -0.05002525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05002525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.866236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16643 KachelY 16645 0.04966263 -0.05002525 2.845459 -2.866236
    Oben rechts KachelX + 1 16644 KachelY 16645 0.04985438 -0.05002525 2.856446 -2.866236
    Unten links KachelX 16643 KachelY + 1 16646 0.04966263 -0.05021675 2.845459 -2.877208
    Unten rechts KachelX + 1 16644 KachelY + 1 16646 0.04985438 -0.05021675 2.856446 -2.877208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05002525--0.05021675) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05002525--0.05021675) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04966263-0.04985438) × cos(-0.05002525) × R
    0.000191749999999997 × 0.998748998102559 × 6371000     		do = 1220.11097698025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04966263-0.04985438) × cos(-0.05021675) × R
    0.000191749999999997 × 0.998739403949187 × 6371000     		du = 1220.09925638592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05002525)-sin(-0.05021675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998748998102559-0.998739403949187)×R²
    abs(0.04985438-0.04966263)×9.59415337220548e-06×R²
    0.000191749999999997×9.59415337220548e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.59415337220548e-06×40589641000000     		ar = 1488584.98179039m²