Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16645 / 16643
↖ ↑ ↗
← S  2.844290°
E  2.867431°		 ← 1 220.13 m → S  2.844290°
E  2.878418°		 →
↑
1 220.11 m
↓
↑
1 220.11 m
↓
S  2.855263°
E  2.867431°		 ← 1 220.12 m →
1 488 691 m²		 S  2.855263°
E  2.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507980346679688 y=0.507919311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507980346679688 × 215)
    floor (0.507980346679688 × 32768)
    floor (16645.5)     		tx = 16645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507919311523438 × 215)
    floor (0.507919311523438 × 32768)
    floor (16643.5)     		ty = 16643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16645 / 16643 ti = "15/16645/16643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16645/16643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16645 ÷ 215
    16645 ÷ 32768     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16643 ÷ 215
    16643 ÷ 32768     		y = 0.507904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0496626280063782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0496626280063782))-π/2
    2×atan(0.951550396808539)-π/2
    2×0.760577050333766-π/2
    1.52115410066753-1.57079632675     		φ = -0.04964223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04964223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.844290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16645 KachelY 16643 0.05004612 -0.04964223 2.867431 -2.844290
    Oben rechts KachelX + 1 16646 KachelY 16643 0.05023787 -0.04964223 2.878418 -2.844290
    Unten links KachelX 16645 KachelY + 1 16644 0.05004612 -0.04983374 2.867431 -2.855263
    Unten rechts KachelX + 1 16646 KachelY + 1 16644 0.05023787 -0.04983374 2.878418 -2.855263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04964223--0.04983374) × R
    0.000191509999999999 × 6371000     		dl = 1220.11020999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04964223--0.04983374) × R
    0.000191509999999999 × 6371000     		dr = 1220.11020999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05023787) × cos(-0.04964223) × R
    0.000191749999999997 × 0.998768077522272 × 6371000     		do = 1220.13428514823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05023787) × cos(-0.04983374) × R
    0.000191749999999997 × 0.99875855612769 × 6371000     		du = 1220.1226534389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04964223)-sin(-0.04983374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998768077522272-0.99875855612769)×R²
    abs(0.05023787-0.05004612)×9.52139458187951e-06×R²
    0.000191749999999997×9.52139458187951e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.52139458187951e-06×40589641000000     		ar = 1488691.20744667m²