Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1665 / 2687
↖ ↑ ↗
← S 48.864715°
W 33.662109°		 ← 6 429.05 m → S 48.864715°
W 33.574219°		 →
↑
6 425.34 m
↓
↑
6 425.34 m
↓
S 48.922499°
W 33.662109°		 ← 6 421.63 m →
41 285 029 m²		 S 48.922499°
W 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4066162109375 y=0.6561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4066162109375 × 212)
    floor (0.4066162109375 × 4096)
    floor (1665.5)     		tx = 1665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6561279296875 × 212)
    floor (0.6561279296875 × 4096)
    floor (2687.5)     		ty = 2687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1665 / 2687 ti = "12/1665/2687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1665/2687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1665 ÷ 212
    1665 ÷ 4096     		x = 0.406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2687 ÷ 212
    2687 ÷ 4096     		y = 0.656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58751464} λ = -0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980213723430908))-π/2
    2×atan(0.375230894646759)-π/2
    2×0.358973083085996-π/2
    0.717946166171992-1.57079632675     		φ = -0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1665 KachelY 2687 -0.58751464 -0.85285016 -33.662109 -48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 1666 KachelY 2687 -0.58598066 -0.85285016 -33.574219 -48.864715
    Unten links KachelX 1665 KachelY + 1 2688 -0.58751464 -0.85385869 -33.662109 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 1666 KachelY + 1 2688 -0.58598066 -0.85385869 -33.574219 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85285016--0.85385869) × R
    0.00100853000000001 × 6371000     		dl = 6425.34463000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85285016--0.85385869) × R
    0.00100853000000001 × 6371000     		dr = 6425.34463000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58751464--0.58598066) × cos(-0.85285016) × R
    0.00153397999999993 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 6429.05366136553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58751464--0.58598066) × cos(-0.85385869) × R
    0.00153397999999993 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 6421.62700002517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85285016)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.58598066--0.58751464)×0.000759917276010325×R²
    0.00153397999999993×0.000759917276010325×6371000²
    0.00153397999999993×0.000759917276010325×40589641000000     		ar = 41285029.4891163m²