Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16650 / 16650
↖ ↑ ↗
← S  2.921097°
E  2.922363°		 ← 1 220.05 m → S  2.921097°
E  2.933350°		 →
↑
1 220.05 m
↓
↑
1 220.05 m
↓
S  2.932069°
E  2.922363°		 ← 1 220.04 m →
1 488 513 m²		 S  2.932069°
E  2.933350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508132934570312 y=0.508132934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508132934570312 × 215)
    floor (0.508132934570312 × 32768)
    floor (16650.5)     		tx = 16650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508132934570312 × 215)
    floor (0.508132934570312 × 32768)
    floor (16650.5)     		ty = 16650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16650 / 16650 ti = "15/16650/16650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16650/16650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16650 ÷ 215
    16650 ÷ 32768     		x = 0.50811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16650 ÷ 215
    16650 ÷ 32768     		y = 0.50811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50811767578125 × 2 - 1) × π
    0.0162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05100486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.0162353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05100486} λ = 0.05100486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0510048611957397))-π/2
    2×atan(0.95027405105303)-π/2
    2×0.75990678302485-π/2
    1.5198135660497-1.57079632675     		φ = -0.05098276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05100486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05098276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.921097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16650 KachelY 16650 0.05100486 -0.05098276 2.922363 -2.921097
    Oben rechts KachelX + 1 16651 KachelY 16650 0.05119661 -0.05098276 2.933350 -2.921097
    Unten links KachelX 16650 KachelY + 1 16651 0.05100486 -0.05117426 2.922363 -2.932069
    Unten rechts KachelX + 1 16651 KachelY + 1 16651 0.05119661 -0.05117426 2.933350 -2.932069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05098276--0.05117426) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dl = 1220.04649999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05098276--0.05117426) × R
    0.000191499999999997 × 6371000     		dr = 1220.04649999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05100486-0.05119661) × cos(-0.05098276) × R
    0.000191749999999997 × 0.99870066056942 × 6371000     		do = 1220.05192595252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05100486-0.05119661) × cos(-0.05117426) × R
    0.000191749999999997 × 0.998690883287576 × 6371000     		du = 1220.03998164126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05098276)-sin(-0.05117426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99870066056942-0.998690883287576)×R²
    abs(0.05119661-0.05100486)×9.77728184448079e-06×R²
    0.000191749999999997×9.77728184448079e-06×6371000²
    0.000191749999999997×9.77728184448079e-06×40589641000000     		ar = 1488512.80031795m²