Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16656 / 16656
↖ ↑ ↗
← S  2.986928°
E  2.988281°		 ← 1 219.92 m → S  2.986928°
E  2.999267°		 →
↑
1 219.92 m
↓
↑
1 219.92 m
↓
S  2.997899°
E  2.988281°		 ← 1 219.90 m →
1 488 191 m²		 S  2.997899°
E  2.999267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508316040039062 y=0.508316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508316040039062 × 215)
    floor (0.508316040039062 × 32768)
    floor (16656.5)     		tx = 16656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508316040039062 × 215)
    floor (0.508316040039062 × 32768)
    floor (16656.5)     		ty = 16656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16656 / 16656 ti = "15/16656/16656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16656/16656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16656 ÷ 215
    16656 ÷ 32768     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16656 ÷ 215
    16656 ÷ 32768     		y = 0.50830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    -0.0166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0521553467866211))-π/2
    2×atan(0.949181403108284)-π/2
    2×0.75933230463234-π/2
    1.51866460926468-1.57079632675     		φ = -0.05213172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05213172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.986928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16656 KachelY 16656 0.05215535 -0.05213172 2.988281 -2.986928
    Oben rechts KachelX + 1 16657 KachelY 16656 0.05234709 -0.05213172 2.999267 -2.986928
    Unten links KachelX 16656 KachelY + 1 16657 0.05215535 -0.05232320 2.988281 -2.997899
    Unten rechts KachelX + 1 16657 KachelY + 1 16657 0.05234709 -0.05232320 2.999267 -2.997899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05213172--0.05232320) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dl = 1219.91908000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05213172--0.05232320) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dr = 1219.91908000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(-0.05213172) × R
    0.000191739999999996 × 0.998641449606272 × 6371000     		do = 1219.91596806914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(-0.05232320) × R
    0.000191739999999996 × 0.99863145363804 × 6371000     		du = 1219.90375723885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05213172)-sin(-0.05232320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998641449606272-0.99863145363804)×R²
    abs(0.05234709-0.05215535)×9.99596823247906e-06×R²
    0.000191739999999996×9.99596823247906e-06×6371000²
    0.000191739999999996×9.99596823247906e-06×40589641000000     		ar = 1488191.32187881m²