Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1666 / 642
↖ ↑ ↗
← N 55.578345°
E112.851562°		 ← 11.049 km → N 55.578345°
E113.027344°		 →
↑
11.063 km
↓
↑
11.063 km
↓
N 55.478854°
E112.851562°		 ← 11.077 km →
122.388 km²		 N 55.478854°
E113.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813720703125 y=0.313720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813720703125 × 211)
    floor (0.813720703125 × 2048)
    floor (1666.5)     		tx = 1666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313720703125 × 211)
    floor (0.313720703125 × 2048)
    floor (642.5)     		ty = 642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1666 / 642 ti = "11/1666/642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1666/642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1666 ÷ 211
    1666 ÷ 2048     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 642 ÷ 211
    642 ÷ 2048     		y = 0.3134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3134765625 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17196132191113))-π/2
    2×atan(3.22831820449576)-π/2
    2×1.27041071705689-π/2
    2.54082143411379-1.57079632675     		φ = 0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1666 KachelY 642 1.96963133 0.97002511 112.851562 55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 1667 KachelY 642 1.97269929 0.97002511 113.027344 55.578345
    Unten links KachelX 1666 KachelY + 1 643 1.96963133 0.96828866 112.851562 55.478854
    Unten rechts KachelX + 1 1667 KachelY + 1 643 1.97269929 0.96828866 113.027344 55.478854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97002511-0.96828866) × R
    0.00173645 × 6371000     		dl = 11062.92295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97002511-0.96828866) × R
    0.00173645 × 6371000     		dr = 11062.92295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.97269929) × cos(0.97002511) × R
    0.00306796000000009 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 11048.9246065362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.97269929) × cos(0.96828866) × R
    0.00306796000000009 × 0.566710362596155 × 6371000     		du = 11076.9055367987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97002511)-sin(0.96828866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.566710362596155)×R²
    abs(1.97269929-1.96963133)×0.00143154449427507×R²
    0.00306796000000009×0.00143154449427507×6371000²
    0.00306796000000009×0.00143154449427507×40589641000000     		ar = 122388207.792933m²