Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16672 / 16608
↖ ↑ ↗
← S  2.460181°
E  3.164063°		 ← 1 220.51 m → S  2.460181°
E  3.175049°		 →
↑
1 220.49 m
↓
↑
1 220.49 m
↓
S  2.471157°
E  3.164063°		 ← 1 220.50 m →
1 489 621 m²		 S  2.471157°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508804321289062 y=0.506851196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508804321289062 × 215)
    floor (0.508804321289062 × 32768)
    floor (16672.5)     		tx = 16672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506851196289062 × 215)
    floor (0.506851196289062 × 32768)
    floor (16608.5)     		ty = 16608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16672 / 16608 ti = "15/16672/16608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16672/16608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16672 ÷ 215
    16672 ÷ 32768     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16608 ÷ 215
    16608 ÷ 32768     		y = 0.5068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(0.957957886241424)-π/2
    2×0.763929032495852-π/2
    1.5278580649917-1.57079632675     		φ = -0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16672 KachelY 16608 0.05522331 -0.04293826 3.164063 -2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 16673 KachelY 16608 0.05541506 -0.04293826 3.175049 -2.460181
    Unten links KachelX 16672 KachelY + 1 16609 0.05522331 -0.04312983 3.164063 -2.471157
    Unten rechts KachelX + 1 16673 KachelY + 1 16609 0.05541506 -0.04312983 3.175049 -2.471157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04293826--0.04312983) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dl = 1220.49247000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04293826--0.04312983) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dr = 1220.49247000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.04293826) × R
    0.000191750000000004 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 1220.513258432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.04312983) × R
    0.000191750000000004 × 0.999070053051394 × 6371000     		du = 1220.50319030719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04293826)-sin(-0.04312983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.999070053051394)×R²
    abs(0.05541506-0.05522331)×8.24148766331856e-06×R²
    0.000191750000000004×8.24148766331856e-06×6371000²
    0.000191750000000004×8.24148766331856e-06×40589641000000     		ar = 1489621.10197183m²