Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16672 / 16672
↖ ↑ ↗
← S  3.162455°
E  3.164063°		 ← 1 219.78 m → S  3.162455°
E  3.175049°		 →
↑
1 219.79 m
↓
↑
1 219.79 m
↓
S  3.173425°
E  3.164063°		 ← 1 219.77 m →
1 487 868 m²		 S  3.173425°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508804321289062 y=0.508804321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508804321289062 × 215)
    floor (0.508804321289062 × 32768)
    floor (16672.5)     		tx = 16672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508804321289062 × 215)
    floor (0.508804321289062 × 32768)
    floor (16672.5)     		ty = 16672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16672 / 16672 ti = "15/16672/16672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16672/16672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16672 ÷ 215
    16672 ÷ 32768     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16672 ÷ 215
    16672 ÷ 32768     		y = 0.5087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0552233083623047))-π/2
    2×atan(0.946273813502402)-π/2
    2×0.757800532672959-π/2
    1.51560106534592-1.57079632675     		φ = -0.05519526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05519526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.162455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16672 KachelY 16672 0.05522331 -0.05519526 3.164063 -3.162455
    Oben rechts KachelX + 1 16673 KachelY 16672 0.05541506 -0.05519526 3.175049 -3.162455
    Unten links KachelX 16672 KachelY + 1 16673 0.05522331 -0.05538672 3.164063 -3.173425
    Unten rechts KachelX + 1 16673 KachelY + 1 16673 0.05541506 -0.05538672 3.175049 -3.173425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05519526--0.05538672) × R
    0.000191459999999997 × 6371000     		dl = 1219.79165999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05519526--0.05538672) × R
    0.000191459999999997 × 6371000     		dr = 1219.79165999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.05519526) × R
    0.000191750000000004 × 0.998477128316837 × 6371000     		do = 1219.77885017916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.05538672) × R
    0.000191750000000004 × 0.998466547696822 × 6371000     		du = 1219.76592447846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05519526)-sin(-0.05538672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998477128316837-0.998466547696822)×R²
    abs(0.05541506-0.05522331)×1.05806200150216e-05×R²
    0.000191750000000004×1.05806200150216e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.05806200150216e-05×40589641000000     		ar = 1487868.18970699m²