Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16672 / 17184
↖ ↑ ↗
← S  8.754795°
E  3.164063°		 ← 1 207.41 m → S  8.754795°
E  3.175049°		 →
↑
1 207.37 m
↓
↑
1 207.37 m
↓
S  8.765653°
E  3.164063°		 ← 1 207.37 m →
1 457 762 m²		 S  8.765653°
E  3.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508804321289062 y=0.524429321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508804321289062 × 215)
    floor (0.508804321289062 × 32768)
    floor (16672.5)     		tx = 16672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524429321289062 × 215)
    floor (0.524429321289062 × 32768)
    floor (17184.5)     		ty = 17184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16672 / 17184 ti = "15/16672/17184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16672/17184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16672 ÷ 215
    16672 ÷ 32768     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17184 ÷ 215
    17184 ÷ 32768     		y = 0.5244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    -0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15339807878418))-π/2
    2×atan(0.857788186558546)-π/2
    2×0.708998166952786-π/2
    1.41799633390557-1.57079632675     		φ = -0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16672 KachelY 17184 0.05522331 -0.15279999 3.164063 -8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 16673 KachelY 17184 0.05541506 -0.15279999 3.175049 -8.754795
    Unten links KachelX 16672 KachelY + 1 17185 0.05522331 -0.15298950 3.164063 -8.765653
    Unten rechts KachelX + 1 16673 KachelY + 1 17185 0.05541506 -0.15298950 3.175049 -8.765653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15279999--0.15298950) × R
    0.000189510000000004 × 6371000     		dl = 1207.36821000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15279999--0.15298950) × R
    0.000189510000000004 × 6371000     		dr = 1207.36821000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.15279999) × R
    0.000191750000000004 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 1207.40565898281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05541506) × cos(-0.15298950) × R
    0.000191750000000004 × 0.98831991492967 × 6371000     		du = 1207.37039963477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15279999)-sin(-0.15298950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.98831991492967)×R²
    abs(0.05541506-0.05522331)×2.88623241577746e-05×R²
    0.000191750000000004×2.88623241577746e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.88623241577746e-05×40589641000000     		ar = 1457761.92808474m²