Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 167 / 41
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 54.843750°		 ← 36.459 km → N 76.516819°
E 56.250000°		 →
↑
36.897 km
↓
↑
36.897 km
↓
N 76.184995°
E 54.843750°		 ← 37.339 km →
1 361.46 km²		 N 76.184995°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.654296875 y=0.162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.654296875 × 28)
    floor (0.654296875 × 256)
    floor (167.5)     		tx = 167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162109375 × 28)
    floor (0.162109375 × 256)
    floor (41.5)     		ty = 41
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 167 / 41 ti = "8/167/41"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/167/41.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 167 ÷ 28
    167 ÷ 256     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41 ÷ 28
    41 ÷ 256     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 167 KachelY 41 0.95720401 1.33547042 54.843750 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 168 KachelY 41 0.98174770 1.33547042 56.250000 76.516819
    Unten links KachelX 167 KachelY + 1 42 0.95720401 1.32967901 54.843750 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 168 KachelY + 1 42 0.98174770 1.32967901 56.250000 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.32967901) × R
    0.00579141000000005 × 6371000     		dl = 36897.0731100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.32967901) × R
    0.00579141000000005 × 6371000     		dr = 36897.0731100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.98174770) × cos(1.33547042) × R
    0.02454369 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 36458.7155008747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.98174770) × cos(1.32967901) × R
    0.02454369 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 37338.7299694883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.238787770060559)×R²
    abs(0.98174770-0.95720401)×0.00562784788751494×R²
    0.02454369×0.00562784788751494×6371000²
    0.02454369×0.00562784788751494×40589641000000     		ar = 1361458675.75358m²