Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1670 / 2686
↖ ↑ ↗
← S 48.806863°
W 33.222656°		 ← 6 436.48 m → S 48.806863°
W 33.134766°		 →
↑
6 432.80 m
↓
↑
6 432.80 m
↓
S 48.864715°
W 33.222656°		 ← 6 429.05 m →
41 380 705 m²		 S 48.864715°
W 33.134766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4078369140625 y=0.6558837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4078369140625 × 212)
    floor (0.4078369140625 × 4096)
    floor (1670.5)     		tx = 1670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6558837890625 × 212)
    floor (0.6558837890625 × 4096)
    floor (2686.5)     		ty = 2686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1670 / 2686 ti = "12/1670/2686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1670/2686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1670 ÷ 212
    1670 ÷ 4096     		x = 0.40771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2686 ÷ 212
    2686 ÷ 4096     		y = 0.65576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57984474} λ = -0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978679742643066))-π/2
    2×atan(0.375806933333335)-π/2
    2×0.359477930923034-π/2
    0.718955861846068-1.57079632675     		φ = -0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1670 KachelY 2686 -0.57984474 -0.85184046 -33.222656 -48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 1671 KachelY 2686 -0.57831076 -0.85184046 -33.134766 -48.806863
    Unten links KachelX 1670 KachelY + 1 2687 -0.57984474 -0.85285016 -33.222656 -48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 1671 KachelY + 1 2687 -0.57831076 -0.85285016 -33.134766 -48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85184046--0.85285016) × R
    0.0010097 × 6371000     		dl = 6432.79870000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85184046--0.85285016) × R
    0.0010097 × 6371000     		dr = 6432.79870000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57984474--0.57831076) × cos(-0.85184046) × R
    0.00153397999999993 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 6436.48238782062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57984474--0.57831076) × cos(-0.85285016) × R
    0.00153397999999993 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 6429.05366136553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85184046)-sin(-0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.57831076--0.57984474)×0.000760128584468722×R²
    0.00153397999999993×0.000760128584468722×6371000²
    0.00153397999999993×0.000760128584468722×40589641000000     		ar = 41380705.3016223m²