Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16708 / 16708
↖ ↑ ↗
← S  3.557283°
E  3.559570°		 ← 1 219.29 m → S  3.557283°
E  3.570557°		 →
↑
1 219.22 m
↓
↑
1 219.22 m
↓
S  3.568248°
E  3.559570°		 ← 1 219.27 m →
1 486 566 m²		 S  3.568248°
E  3.570557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509902954101562 y=0.509902954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509902954101562 × 215)
    floor (0.509902954101562 × 32768)
    floor (16708.5)     		tx = 16708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509902954101562 × 215)
    floor (0.509902954101562 × 32768)
    floor (16708.5)     		ty = 16708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16708 / 16708 ti = "15/16708/16708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16708/16708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16708 ÷ 215
    16708 ÷ 32768     		x = 0.5098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16708 ÷ 215
    16708 ÷ 32768     		y = 0.5098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    0.019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06212622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.019775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0621262219075928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06212622} λ = 0.06212622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0621262219075928))-π/2
    2×atan(0.939764260466982)-π/2
    2×0.754355015397101-π/2
    1.5087100307942-1.57079632675     		φ = -0.06208630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06212622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06208630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.557283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16708 KachelY 16708 0.06212622 -0.06208630 3.559570 -3.557283
    Oben rechts KachelX + 1 16709 KachelY 16708 0.06231797 -0.06208630 3.570557 -3.557283
    Unten links KachelX 16708 KachelY + 1 16709 0.06212622 -0.06227767 3.559570 -3.568248
    Unten rechts KachelX + 1 16709 KachelY + 1 16709 0.06231797 -0.06227767 3.570557 -3.568248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06208630--0.06227767) × R
    0.000191370000000003 × 6371000     		dl = 1219.21827000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06208630--0.06227767) × R
    0.000191370000000003 × 6371000     		dr = 1219.21827000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06212622-0.06231797) × cos(-0.06208630) × R
    0.000191749999999997 × 0.998073264712392 × 6371000     		do = 1219.28547454828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06212622-0.06231797) × cos(-0.06227767) × R
    0.000191749999999997 × 0.998061372613063 × 6371000     		du = 1219.27094669298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06208630)-sin(-0.06227767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998073264712392-0.998061372613063)×R²
    abs(0.06231797-0.06212622)×1.18920993290583e-05×R²
    0.000191749999999997×1.18920993290583e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.18920993290583e-05×40589641000000     		ar = 1486566.27513844m²