Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1672 / 136
↖ ↑ ↗
← N 82.494824°
E113.906250°		 ← 2 553.01 m → N 82.494824°
E114.082031°		 →
↑
2 556.94 m
↓
↑
2 556.94 m
↓
N 82.471829°
E113.906250°		 ← 2 560.79 m →
6 537 835 m²		 N 82.471829°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816650390625 y=0.066650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816650390625 × 211)
    floor (0.816650390625 × 2048)
    floor (1672.5)     		tx = 1672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.066650390625 × 211)
    floor (0.066650390625 × 2048)
    floor (136.5)     		ty = 136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1672 / 136 ti = "11/1672/136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1672/136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1672 ÷ 211
    1672 ÷ 2048     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 136 ÷ 211
    136 ÷ 2048     		y = 0.06640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06640625 × 2 - 1) × π
    0.8671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72434987920703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72434987920703))-π/2
    2×atan(15.246498638356)-π/2
    2×1.50530130733126-π/2
    3.01060261466252-1.57079632675     		φ = 1.43980629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43980629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.494824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1672 KachelY 136 1.98803910 1.43980629 113.906250 82.494824
    Oben rechts KachelX + 1 1673 KachelY 136 1.99110706 1.43980629 114.082031 82.494824
    Unten links KachelX 1672 KachelY + 1 137 1.98803910 1.43940495 113.906250 82.471829
    Unten rechts KachelX + 1 1673 KachelY + 1 137 1.99110706 1.43940495 114.082031 82.471829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43980629-1.43940495) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dl = 2556.93714000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43980629-1.43940495) × R
    0.000401340000000028 × 6371000     		dr = 2556.93714000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(1.43980629) × R
    0.00306796000000009 × 0.130615761686591 × 6371000     		do = 2553.01217219915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(1.43940495) × R
    0.00306796000000009 × 0.131013652902914 × 6371000     		du = 2560.789343234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43980629)-sin(1.43940495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130615761686591-0.131013652902914)×R²
    abs(1.99110706-1.98803910)×0.00039789121632286×R²
    0.00306796000000009×0.00039789121632286×6371000²
    0.00306796000000009×0.00039789121632286×40589641000000     		ar = 6537834.598457m²