Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1672 / 648
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
E113.906250°		 ← 11.217 km → N 54.977613°
E114.082031°		 →
↑
11.231 km
↓
↑
11.231 km
↓
N 54.876607°
E113.906250°		 ← 11.246 km →
126.146 km²		 N 54.876607°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816650390625 y=0.316650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816650390625 × 211)
    floor (0.816650390625 × 2048)
    floor (1672.5)     		tx = 1672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316650390625 × 211)
    floor (0.316650390625 × 2048)
    floor (648.5)     		ty = 648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1672 / 648 ti = "11/1672/648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1672/648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1672 ÷ 211
    1672 ÷ 2048     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 648 ÷ 211
    648 ÷ 2048     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1672 KachelY 648 1.98803910 0.95954037 113.906250 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 1673 KachelY 648 1.99110706 0.95954037 114.082031 54.977613
    Unten links KachelX 1672 KachelY + 1 649 1.98803910 0.95777747 113.906250 54.876607
    Unten rechts KachelX + 1 1673 KachelY + 1 649 1.99110706 0.95777747 114.082031 54.876607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.95777747) × R
    0.00176290000000001 × 6371000     		dl = 11231.4359000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.95777747) × R
    0.00176290000000001 × 6371000     		dr = 11231.4359000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(0.95954037) × R
    0.00306796000000009 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 11217.3646180711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.99110706) × cos(0.95777747) × R
    0.00306796000000009 × 0.575339245919403 × 6371000     		du = 11245.5654586356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.95777747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.575339245919403)×R²
    abs(1.99110706-1.98803910)×0.0014427954205054×R²
    0.00306796000000009×0.0014427954205054×6371000²
    0.00306796000000009×0.0014427954205054×40589641000000     		ar = 126145512.311114m²