Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1679 / 2705
↖ ↑ ↗
← S 49.894634°
W 32.431641°		 ← 6 295.71 m → S 49.894634°
W 32.343750°		 →
↑
6 292 m
↓
↑
6 292 m
↓
S 49.951220°
W 32.431641°		 ← 6 288.33 m →
39 589 384 m²		 S 49.951220°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4100341796875 y=0.6605224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4100341796875 × 212)
    floor (0.4100341796875 × 4096)
    floor (1679.5)     		tx = 1679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6605224609375 × 212)
    floor (0.6605224609375 × 4096)
    floor (2705.5)     		ty = 2705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1679 / 2705 ti = "12/1679/2705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1679/2705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1679 ÷ 212
    1679 ÷ 4096     		x = 0.409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2705 ÷ 212
    2705 ÷ 4096     		y = 0.660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56603891} λ = -0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00782537761206))-π/2
    2×atan(0.365011880135804)-π/2
    2×0.34998533876454-π/2
    0.69997067752908-1.57079632675     		φ = -0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1679 KachelY 2705 -0.56603891 -0.87082565 -32.431641 -49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 1680 KachelY 2705 -0.56450493 -0.87082565 -32.343750 -49.894634
    Unten links KachelX 1679 KachelY + 1 2706 -0.56603891 -0.87181325 -32.431641 -49.951220
    Unten rechts KachelX + 1 1680 KachelY + 1 2706 -0.56450493 -0.87181325 -32.343750 -49.951220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87082565--0.87181325) × R
    0.000987599999999977 × 6371000     		dl = 6291.99959999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87082565--0.87181325) × R
    0.000987599999999977 × 6371000     		dr = 6291.99959999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56603891--0.56450493) × cos(-0.87082565) × R
    0.00153397999999993 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 6295.71162439398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56603891--0.56450493) × cos(-0.87181325) × R
    0.00153397999999993 × 0.643439568499962 × 6371000     		du = 6288.32626799085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87082565)-sin(-0.87181325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.643439568499962)×R²
    abs(-0.56450493--0.56603891)×0.000755690836437672×R²
    0.00153397999999993×0.000755690836437672×6371000²
    0.00153397999999993×0.000755690836437672×40589641000000     		ar = 39589383.910438m²