Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 168 / 103
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E 56.250000°		 ← 130.936 km → N 33.137551°
E 57.656250°		 →
↑
131.809 km
↓
↑
131.809 km
↓
N 31.952162°
E 56.250000°		 ← 132.677 km →
17 373.9 km²		 N 31.952162°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658203125 y=0.404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658203125 × 28)
    floor (0.658203125 × 256)
    floor (168.5)     		tx = 168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404296875 × 28)
    floor (0.404296875 × 256)
    floor (103.5)     		ty = 103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 168 / 103 ti = "8/168/103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/168/103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 168 ÷ 28
    168 ÷ 256     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103 ÷ 28
    103 ÷ 256     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 168 KachelY 103 0.98174770 0.57835937 56.250000 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 169 KachelY 103 1.00629140 0.57835937 57.656250 33.137551
    Unten links KachelX 168 KachelY + 1 104 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 169 KachelY + 1 104 1.00629140 0.55767043 57.656250 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.55767043) × R
    0.02068894 × 6371000     		dl = 131809.23674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.55767043) × R
    0.02068894 × 6371000     		dr = 131809.23674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(0.57835937) × R
    0.0245437000000001 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 130936.333621952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(0.55767043) × R
    0.0245437000000001 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 132676.648767036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.848490246343458)×R²
    abs(1.00629140-0.98174770)×0.0111296180593189×R²
    0.0245437000000001×0.0111296180593189×6371000²
    0.0245437000000001×0.0111296180593189×40589641000000     		ar = 17373932723.0874m²