Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 168 / 105
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
E 56.250000°		 ← 134.382 km → N 30.751278°
E 57.656250°		 →
↑
135.218 km
↓
↑
135.218 km
↓
N 29.535229°
E 56.250000°		 ← 136.048 km →
18 284.3 km²		 N 29.535229°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658203125 y=0.412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658203125 × 28)
    floor (0.658203125 × 256)
    floor (168.5)     		tx = 168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412109375 × 28)
    floor (0.412109375 × 256)
    floor (105.5)     		ty = 105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 168 / 105 ti = "8/168/105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/168/105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 168 ÷ 28
    168 ÷ 256     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105 ÷ 28
    105 ÷ 256     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 168 KachelY 105 0.98174770 0.53671105 56.250000 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 169 KachelY 105 1.00629140 0.53671105 57.656250 30.751278
    Unten links KachelX 168 KachelY + 1 106 0.98174770 0.51548700 56.250000 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 169 KachelY + 1 106 1.00629140 0.51548700 57.656250 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.51548700) × R
    0.0212240499999999 × 6371000     		dl = 135218.42255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.51548700) × R
    0.0212240499999999 × 6371000     		dr = 135218.42255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(0.53671105) × R
    0.0245437000000001 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 134381.803412095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(0.51548700) × R
    0.0245437000000001 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 136048.333180823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.870052754632841)×R²
    abs(1.00629140-0.98174770)×0.0106577477434598×R²
    0.0245437000000001×0.0106577477434598×6371000²
    0.0245437000000001×0.0106577477434598×40589641000000     		ar = 18284254606.0895m²