Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 168 / 24
↖ ↑ ↗
← N 81.093214°
E 56.250000°		 ← 24.210 km → N 81.093214°
E 57.656250°		 →
↑
24.506 km
↓
↑
24.506 km
↓
N 80.872827°
E 56.250000°		 ← 24.804 km →
600.567 km²		 N 80.872827°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658203125 y=0.095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658203125 × 28)
    floor (0.658203125 × 256)
    floor (168.5)     		tx = 168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095703125 × 28)
    floor (0.095703125 × 256)
    floor (24.5)     		ty = 24
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 168 / 24 ti = "8/168/24"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/168/24.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 168 ÷ 28
    168 ÷ 256     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24 ÷ 28
    24 ÷ 256     		y = 0.09375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09375 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55254403096875))-π/2
    2×atan(12.8397269308608)-π/2
    2×1.49306995476775-π/2
    2.98613990953549-1.57079632675     		φ = 1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 168 KachelY 24 0.98174770 1.41534358 56.250000 81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 169 KachelY 24 1.00629140 1.41534358 57.656250 81.093214
    Unten links KachelX 168 KachelY + 1 25 0.98174770 1.41149711 56.250000 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 169 KachelY + 1 25 1.00629140 1.41149711 57.656250 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41534358-1.41149711) × R
    0.00384647000000005 × 6371000     		dl = 24505.8603700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41534358-1.41149711) × R
    0.00384647000000005 × 6371000     		dr = 24505.8603700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(1.41534358) × R
    0.0245437000000001 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 24210.0377588372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(1.41149711) × R
    0.0245437000000001 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 24804.0689424039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41534358)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.15862633525071)×R²
    abs(1.00629140-0.98174770)×0.00379893274335902×R²
    0.0245437000000001×0.00379893274335902×6371000²
    0.0245437000000001×0.00379893274335902×40589641000000     		ar = 600567167.956562m²