Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 168 / 55
↖ ↑ ↗
← N 71.074057°
E 56.250000°		 ← 50.717 km → N 71.074057°
E 57.656250°		 →
↑
51.310 km
↓
↑
51.310 km
↓
N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 51.907 km →
2 632.84 km²		 N 70.612614°
E 57.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658203125 y=0.216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658203125 × 28)
    floor (0.658203125 × 256)
    floor (168.5)     		tx = 168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216796875 × 28)
    floor (0.216796875 × 256)
    floor (55.5)     		ty = 55
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 168 / 55 ti = "8/168/55"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/168/55.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 168 ÷ 28
    168 ÷ 256     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55 ÷ 28
    55 ÷ 256     		y = 0.21484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21484375 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79168956019922))-π/2
    2×atan(5.99958056048846)-π/2
    2×1.40563631240615-π/2
    2.81127262481229-1.57079632675     		φ = 1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 168 KachelY 55 0.98174770 1.24047630 56.250000 71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 169 KachelY 55 1.00629140 1.24047630 57.656250 71.074057
    Unten links KachelX 168 KachelY + 1 56 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 169 KachelY + 1 56 1.00629140 1.23242261 57.656250 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24047630-1.23242261) × R
    0.00805369000000011 × 6371000     		dl = 51310.0589900007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24047630-1.23242261) × R
    0.00805369000000011 × 6371000     		dr = 51310.0589900007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(1.24047630) × R
    0.0245437000000001 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 50717.271156643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-1.00629140) × cos(1.23242261) × R
    0.0245437000000001 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 51906.8705504844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24047630)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.331953465734817)×R²
    abs(1.00629140-0.98174770)×0.00760769503986197×R²
    0.0245437000000001×0.00760769503986197×6371000²
    0.0245437000000001×0.00760769503986197×40589641000000     		ar = 2632839613.33073m²