Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1680 / 144
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
E115.312500°		 ← 2 615.89 m → N 82.308893°
E115.488282°		 →
↑
2 619.88 m
↓
↑
2 619.88 m
↓
N 82.285331°
E115.312500°		 ← 2 623.86 m →
6 863 766 m²		 N 82.285331°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820556640625 y=0.070556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820556640625 × 211)
    floor (0.820556640625 × 2048)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070556640625 × 211)
    floor (0.070556640625 × 2048)
    floor (144.5)     		ty = 144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1680 / 144 ti = "11/1680/144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1680/144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 211
    1680 ÷ 2048     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 144 ÷ 211
    144 ÷ 2048     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 144 2.01258279 1.43656118 115.312500 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 144 2.01565076 1.43656118 115.488282 82.308893
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 145 2.01258279 1.43614996 115.312500 82.285331
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 145 2.01565076 1.43614996 115.488282 82.285331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43614996) × R
    0.000411219999999934 × 6371000     		dl = 2619.88261999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43614996) × R
    0.000411219999999934 × 6371000     		dr = 2619.88261999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(1.43656118) × R
    0.00306797000000003 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 2615.89258803342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(1.43614996) × R
    0.00306797000000003 × 0.134239886985264 × 6371000     		du = 2623.85778043863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43614996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.134239886985264)×R²
    abs(2.01565076-2.01258279)×0.0004075093308267×R²
    0.00306797000000003×0.0004075093308267×6371000²
    0.00306797000000003×0.0004075093308267×40589641000000     		ar = 6863765.55847597m²