Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1680 / 2704
↖ ↑ ↗
← S 49.837983°
W 32.343750°		 ← 6 303.10 m → S 49.837983°
W 32.255859°		 →
↑
6 299.39 m
↓
↑
6 299.39 m
↓
S 49.894634°
W 32.343750°		 ← 6 295.71 m →
39 682 415 m²		 S 49.894634°
W 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4102783203125 y=0.6602783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4102783203125 × 212)
    floor (0.4102783203125 × 4096)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6602783203125 × 212)
    floor (0.6602783203125 × 4096)
    floor (2704.5)     		ty = 2704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1680 / 2704 ti = "12/1680/2704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1680/2704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 212
    1680 ÷ 4096     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2704 ÷ 212
    2704 ÷ 4096     		y = 0.66015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66015625 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00629139682422))-π/2
    2×atan(0.365572231021132)-π/2
    2×0.350479720227978-π/2
    0.700959440455956-1.57079632675     		φ = -0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 2704 -0.56450493 -0.86983689 -32.343750 -49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 2704 -0.56297095 -0.86983689 -32.255859 -49.837983
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 2705 -0.56450493 -0.87082565 -32.343750 -49.894634
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 2705 -0.56297095 -0.87082565 -32.255859 -49.894634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86983689--0.87082565) × R
    0.000988760000000033 × 6371000     		dl = 6299.38996000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86983689--0.87082565) × R
    0.000988760000000033 × 6371000     		dr = 6299.38996000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(-0.86983689) × R
    0.00153398000000005 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 6303.09950400451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(-0.87082565) × R
    0.00153398000000005 × 0.644195259336399 × 6371000     		du = 6295.71162439444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86983689)-sin(-0.87082565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.644195259336399)×R²
    abs(-0.56297095--0.56450493)×0.000755949018203306×R²
    0.00153398000000005×0.000755949018203306×6371000²
    0.00153398000000005×0.000755949018203306×40589641000000     		ar = 39682415.3980325m²