Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16832 / 10816
↖ ↑ ↗
← N 52.052490°
E  4.921875°		 ← 751.23 m → N 52.052490°
E  4.932861°		 →
↑
751.27 m
↓
↑
751.27 m
↓
N 52.045734°
E  4.921875°		 ← 751.35 m →
564 421 m²		 N 52.045734°
E  4.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513687133789062 y=0.330093383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513687133789062 × 215)
    floor (0.513687133789062 × 32768)
    floor (16832.5)     		tx = 16832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330093383789062 × 215)
    floor (0.330093383789062 × 32768)
    floor (10816.5)     		ty = 10816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16832 / 10816 ti = "15/16832/10816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16832/10816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16832 ÷ 215
    16832 ÷ 32768     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10816 ÷ 215
    10816 ÷ 32768     		y = 0.330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330078125 × 2 - 1) × π
    0.33984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06765062833789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06765062833789))-π/2
    2×atan(2.90853822948569)-π/2
    2×1.23964183472267-π/2
    2.47928366944534-1.57079632675     		φ = 0.90848734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90848734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.052490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16832 KachelY 10816 0.08590292 0.90848734 4.921875 52.052490
    Oben rechts KachelX + 1 16833 KachelY 10816 0.08609467 0.90848734 4.932861 52.052490
    Unten links KachelX 16832 KachelY + 1 10817 0.08590292 0.90836942 4.921875 52.045734
    Unten rechts KachelX + 1 16833 KachelY + 1 10817 0.08609467 0.90836942 4.932861 52.045734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90848734-0.90836942) × R
    0.000117919999999994 × 6371000     		dl = 751.268319999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90848734-0.90836942) × R
    0.000117919999999994 × 6371000     		dr = 751.268319999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08609467) × cos(0.90848734) × R
    0.000191750000000004 × 0.614939297592205 × 6371000     		do = 751.233982306086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08609467) × cos(0.90836942) × R
    0.000191750000000004 × 0.615032282015511 × 6371000     		du = 751.347575727235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90848734)-sin(0.90836942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614939297592205-0.615032282015511)×R²
    abs(0.08609467-0.08590292)×9.2984423306075e-05×R²
    0.000191750000000004×9.2984423306075e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.2984423306075e-05×40589641000000     		ar = 564420.962036843m²