Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1688 / 2712
↖ ↑ ↗
← S 50.289339°
W 31.640625°		 ← 6 244.07 m → S 50.289339°
W 31.552734°		 →
↑
6 240.39 m
↓
↑
6 240.39 m
↓
S 50.345461°
W 31.640625°		 ← 6 236.70 m →
38 942 466 m²		 S 50.345461°
W 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4122314453125 y=0.6622314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4122314453125 × 212)
    floor (0.4122314453125 × 4096)
    floor (1688.5)     		tx = 1688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6622314453125 × 212)
    floor (0.6622314453125 × 4096)
    floor (2712.5)     		ty = 2712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1688 / 2712 ti = "12/1688/2712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1688/2712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1688 ÷ 212
    1688 ÷ 4096     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2712 ÷ 212
    2712 ÷ 4096     		y = 0.662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662109375 × 2 - 1) × π
    -0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01856324312695))-π/2
    2×atan(0.361113399792782)-π/2
    2×0.346540889095564-π/2
    0.693081778191129-1.57079632675     		φ = -0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1688 KachelY 2712 -0.55223308 -0.87771455 -31.640625 -50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 1689 KachelY 2712 -0.55069910 -0.87771455 -31.552734 -50.289339
    Unten links KachelX 1688 KachelY + 1 2713 -0.55223308 -0.87869405 -31.640625 -50.345461
    Unten rechts KachelX + 1 1689 KachelY + 1 2713 -0.55069910 -0.87869405 -31.552734 -50.345461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87771455--0.87869405) × R
    0.000979500000000022 × 6371000     		dl = 6240.39450000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87771455--0.87869405) × R
    0.000979500000000022 × 6371000     		dr = 6240.39450000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.55069910) × cos(-0.87771455) × R
    0.00153398000000005 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 6244.06827529312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.55069910) × cos(-0.87869405) × R
    0.00153398000000005 × 0.638157147019085 × 6371000     		du = 6236.70123374879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87771455)-sin(-0.87869405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.638157147019085)×R²
    abs(-0.55069910--0.55223308)×0.000753816807587904×R²
    0.00153398000000005×0.000753816807587904×6371000²
    0.00153398000000005×0.000753816807587904×40589641000000     		ar = 38942465.8135134m²