Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16900 / 49668
↖ ↑ ↗
← N 39.901309°
W133.582764°		 ← 234.31 m → N 39.901309°
W133.580017°		 →
↑
234.26 m
↓
↑
234.26 m
↓
N 39.899202°
W133.582764°		 ← 234.31 m →
54 890 m²		 N 39.899202°
W133.580017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128940582275391 y=0.378940582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128940582275391 × 217)
    floor (0.128940582275391 × 131072)
    floor (16900.5)     		tx = 16900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378940582275391 × 217)
    floor (0.378940582275391 × 131072)
    floor (49668.5)     		ty = 49668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16900 / 49668 ti = "17/16900/49668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16900/49668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16900 ÷ 217
    16900 ÷ 131072     		x = 0.128936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49668 ÷ 217
    49668 ÷ 131072     		y = 0.378936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.74212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33145905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378936767578125 × 2 - 1) × π
    0.24212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.760662723171051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33145905} λ = -2.33145905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760662723171051))-π/2
    2×atan(2.1396937753656)-π/2
    2×1.1336027687269-π/2
    2.26720553745379-1.57079632675     		φ = 0.69640921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33145905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.582764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69640921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.901309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16900 KachelY 49668 -2.33145905 0.69640921 -133.582764 39.901309
    Oben rechts KachelX + 1 16901 KachelY 49668 -2.33141111 0.69640921 -133.580017 39.901309
    Unten links KachelX 16900 KachelY + 1 49669 -2.33145905 0.69637244 -133.582764 39.899202
    Unten rechts KachelX + 1 16901 KachelY + 1 49669 -2.33141111 0.69637244 -133.580017 39.899202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69640921-0.69637244) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dl = 234.261670000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69640921-0.69637244) × R
    3.67700000000193e-05 × 6371000     		dr = 234.261670000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33145905--2.33141111) × cos(0.69640921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767150501897154 × 6371000     		do = 234.307509733156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33145905--2.33141111) × cos(0.69637244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767174088125731 × 6371000     		du = 234.314713574473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69640921)-sin(0.69637244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767150501897154-0.767174088125731)×R²
    abs(-2.33141111--2.33145905)×2.35862285772326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35862285772326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35862285772326e-05×40589641000000     		ar = 54890.1123218256m²