Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16902 / 16902
↖ ↑ ↗
← S  5.681584°
E  5.690918°		 ← 1 215.57 m → S  5.681584°
E  5.701904°		 →
↑
1 215.65 m
↓
↑
1 215.65 m
↓
S  5.692516°
E  5.690918°		 ← 1 215.55 m →
1 477 700 m²		 S  5.692516°
E  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515823364257812 y=0.515823364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515823364257812 × 215)
    floor (0.515823364257812 × 32768)
    floor (16902.5)     		tx = 16902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515823364257812 × 215)
    floor (0.515823364257812 × 32768)
    floor (16902.5)     		ty = 16902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16902 / 16902 ti = "15/16902/16902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16902/16902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16902 ÷ 215
    16902 ÷ 32768     		x = 0.51580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16902 ÷ 215
    16902 ÷ 32768     		y = 0.51580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51580810546875 × 2 - 1) × π
    0.0316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09932526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0993252560127564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09932526} λ = 0.09932526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0993252560127564))-π/2
    2×atan(0.905448157666488)-π/2
    2×0.735816992397218-π/2
    1.47163398479444-1.57079632675     		φ = -0.09916234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09932526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09916234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.681584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16902 KachelY 16902 0.09932526 -0.09916234 5.690918 -5.681584
    Oben rechts KachelX + 1 16903 KachelY 16902 0.09951700 -0.09916234 5.701904 -5.681584
    Unten links KachelX 16902 KachelY + 1 16903 0.09932526 -0.09935315 5.690918 -5.692516
    Unten rechts KachelX + 1 16903 KachelY + 1 16903 0.09951700 -0.09935315 5.701904 -5.692516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09916234--0.09935315) × R
    0.00019081 × 6371000     		dl = 1215.65051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09916234--0.09935315) × R
    0.00019081 × 6371000     		dr = 1215.65051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09932526-0.09951700) × cos(-0.09916234) × R
    0.000191739999999996 × 0.995087442643641 × 6371000     		do = 1215.5744800946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09932526-0.09951700) × cos(-0.09935315) × R
    0.000191739999999996 × 0.995068534356792 × 6371000     		du = 1215.55138219388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09916234)-sin(-0.09935315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995087442643641-0.995068534356792)×R²
    abs(0.09951700-0.09932526)×1.89082868490287e-05×R²
    0.000191739999999996×1.89082868490287e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.89082868490287e-05×40589641000000     		ar = 1477699.70166598m²