Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16906 / 16906
↖ ↑ ↗
← S  5.725312°
E  5.734863°		 ← 1 215.48 m → S  5.725312°
E  5.745849°		 →
↑
1 215.46 m
↓
↑
1 215.46 m
↓
S  5.736243°
E  5.734863°		 ← 1 215.46 m →
1 477 355 m²		 S  5.736243°
E  5.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515945434570312 y=0.515945434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515945434570312 × 215)
    floor (0.515945434570312 × 32768)
    floor (16906.5)     		tx = 16906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515945434570312 × 215)
    floor (0.515945434570312 × 32768)
    floor (16906.5)     		ty = 16906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16906 / 16906 ti = "15/16906/16906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16906/16906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16906 ÷ 215
    16906 ÷ 32768     		x = 0.51593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16906 ÷ 215
    16906 ÷ 32768     		y = 0.51593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.100092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10009225} λ = 0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.100092246406677))-π/2
    2×atan(0.904753953885212)-π/2
    2×0.735435395667412-π/2
    1.47087079133482-1.57079632675     		φ = -0.09992554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09992554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.725312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16906 KachelY 16906 0.10009225 -0.09992554 5.734863 -5.725312
    Oben rechts KachelX + 1 16907 KachelY 16906 0.10028399 -0.09992554 5.745849 -5.725312
    Unten links KachelX 16906 KachelY + 1 16907 0.10009225 -0.10011632 5.734863 -5.736243
    Unten rechts KachelX + 1 16907 KachelY + 1 16907 0.10028399 -0.10011632 5.745849 -5.736243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09992554--0.10011632) × R
    0.000190780000000002 × 6371000     		dl = 1215.45938000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09992554--0.10011632) × R
    0.000190780000000002 × 6371000     		dr = 1215.45938000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10009225-0.10028399) × cos(-0.09992554) × R
    0.00019174000000001 × 0.995011596115926 × 6371000     		do = 1215.48182783164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10009225-0.10028399) × cos(-0.10011632) × R
    0.00019174000000001 × 0.994992545923654 × 6371000     		du = 1215.45855658272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09992554)-sin(-0.10011632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995011596115926-0.994992545923654)×R²
    abs(0.10028399-0.10009225)×1.90501922717745e-05×R²
    0.00019174000000001×1.90501922717745e-05×6371000²
    0.00019174000000001×1.90501922717745e-05×40589641000000     		ar = 1477354.65070955m²