Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16912 / 16913
↖ ↑ ↗
← S  5.801827°
E  5.800781°		 ← 1 215.38 m → S  5.801827°
E  5.811768°		 →
↑
1 215.40 m
↓
↑
1 215.40 m
↓
S  5.812757°
E  5.800781°		 ← 1 215.36 m →
1 477 155 m²		 S  5.812757°
E  5.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516128540039062 y=0.516159057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516128540039062 × 215)
    floor (0.516128540039062 × 32768)
    floor (16912.5)     		tx = 16912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516159057617188 × 215)
    floor (0.516159057617188 × 32768)
    floor (16913.5)     		ty = 16913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16912 / 16913 ti = "15/16912/16913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16912/16913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16912 ÷ 215
    16912 ÷ 32768     		x = 0.51611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16913 ÷ 215
    16913 ÷ 32768     		y = 0.516143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51611328125 × 2 - 1) × π
    0.0322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10124273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.03228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10124273} λ = 0.10124273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101434479596039))-π/2
    2×atan(0.903540377733393)-π/2
    2×0.734767671776751-π/2
    1.4695353435535-1.57079632675     		φ = -0.10126098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10124273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.800781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10126098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.801827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16912 KachelY 16913 0.10124273 -0.10126098 5.800781 -5.801827
    Oben rechts KachelX + 1 16913 KachelY 16913 0.10143448 -0.10126098 5.811768 -5.801827
    Unten links KachelX 16912 KachelY + 1 16914 0.10124273 -0.10145175 5.800781 -5.812757
    Unten rechts KachelX + 1 16913 KachelY + 1 16914 0.10143448 -0.10145175 5.811768 -5.812757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10126098--0.10145175) × R
    0.000190769999999993 × 6371000     		dl = 1215.39566999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10126098--0.10145175) × R
    0.000190769999999993 × 6371000     		dr = 1215.39566999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10124273-0.10143448) × cos(-0.10126098) × R
    0.000191749999999991 × 0.994877486306354 × 6371000     		do = 1215.38138621312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10124273-0.10143448) × cos(-0.10145175) × R
    0.000191749999999991 × 0.994858183642027 × 6371000     		du = 1215.35780532075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10126098)-sin(-0.10145175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994877486306354-0.994858183642027)×R²
    abs(0.10143448-0.10124273)×1.93026643265926e-05×R²
    0.000191749999999991×1.93026643265926e-05×6371000²
    0.000191749999999991×1.93026643265926e-05×40589641000000     		ar = 1477154.94862459m²