Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16916 / 16916
↖ ↑ ↗
← S  5.834616°
E  5.844726°		 ← 1 215.31 m → S  5.834616°
E  5.855713°		 →
↑
1 215.33 m
↓
↑
1 215.33 m
↓
S  5.845546°
E  5.844726°		 ← 1 215.29 m →
1 476 991 m²		 S  5.845546°
E  5.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516250610351562 y=0.516250610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516250610351562 × 215)
    floor (0.516250610351562 × 32768)
    floor (16916.5)     		tx = 16916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516250610351562 × 215)
    floor (0.516250610351562 × 32768)
    floor (16916.5)     		ty = 16916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16916 / 16916 ti = "15/16916/16916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16916/16916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16916 ÷ 215
    16916 ÷ 32768     		x = 0.5162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16916 ÷ 215
    16916 ÷ 32768     		y = 0.5162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    0.032470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10200972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.102009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10200972} λ = 0.10200972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.102009722391479))-π/2
    2×atan(0.903020772104737)-π/2
    2×0.734481532058908-π/2
    1.46896306411782-1.57079632675     		φ = -0.10183326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10200972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10183326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.834616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16916 KachelY 16916 0.10200972 -0.10183326 5.844726 -5.834616
    Oben rechts KachelX + 1 16917 KachelY 16916 0.10220147 -0.10183326 5.855713 -5.834616
    Unten links KachelX 16916 KachelY + 1 16917 0.10200972 -0.10202402 5.844726 -5.845546
    Unten rechts KachelX + 1 16917 KachelY + 1 16917 0.10220147 -0.10202402 5.855713 -5.845546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10183326--0.10202402) × R
    0.000190760000000012 × 6371000     		dl = 1215.33196000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10183326--0.10202402) × R
    0.000190760000000012 × 6371000     		dr = 1215.33196000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10200972-0.10220147) × cos(-0.10183326) × R
    0.000191750000000004 × 0.994819472745602 × 6371000     		do = 1215.31051457036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10200972-0.10220147) × cos(-0.10202402) × R
    0.000191750000000004 × 0.994800062489355 × 6371000     		du = 1215.28680223948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10183326)-sin(-0.10202402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994819472745602-0.994800062489355)×R²
    abs(0.10220147-0.10200972)×1.94102562462994e-05×R²
    0.000191750000000004×1.94102562462994e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.94102562462994e-05×40589641000000     		ar = 1476991.3049836m²