Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16929 / 16929
↖ ↑ ↗
← S  5.976680°
E  5.987549°		 ← 1 215 m → S  5.976680°
E  5.998535°		 →
↑
1 214.95 m
↓
↑
1 214.95 m
↓
S  5.987607°
E  5.987549°		 ← 1 214.97 m →
1 476 148 m²		 S  5.987607°
E  5.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516647338867188 y=0.516647338867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516647338867188 × 215)
    floor (0.516647338867188 × 32768)
    floor (16929.5)     		tx = 16929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516647338867188 × 215)
    floor (0.516647338867188 × 32768)
    floor (16929.5)     		ty = 16929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16929 / 16929 ti = "15/16929/16929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16929/16929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16929 ÷ 215
    16929 ÷ 32768     		x = 0.516632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16929 ÷ 215
    16929 ÷ 32768     		y = 0.516632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    0.03326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10450244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.03326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.104502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10450244} λ = 0.10450244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104502441171722))-π/2
    2×atan(0.900772598463603)-π/2
    2×0.73324178782266-π/2
    1.46648357564532-1.57079632675     		φ = -0.10431275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10450244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10431275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.976680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16929 KachelY 16929 0.10450244 -0.10431275 5.987549 -5.976680
    Oben rechts KachelX + 1 16930 KachelY 16929 0.10469419 -0.10431275 5.998535 -5.976680
    Unten links KachelX 16929 KachelY + 1 16930 0.10450244 -0.10450345 5.987549 -5.987607
    Unten rechts KachelX + 1 16930 KachelY + 1 16930 0.10469419 -0.10450345 5.998535 -5.987607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10431275--0.10450345) × R
    0.000190700000000002 × 6371000     		dl = 1214.94970000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10431275--0.10450345) × R
    0.000190700000000002 × 6371000     		dr = 1214.94970000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10450244-0.10469419) × cos(-0.10431275) × R
    0.000191750000000004 × 0.994564356613949 × 6371000     		do = 1214.99885469063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10450244-0.10469419) × cos(-0.10450345) × R
    0.000191750000000004 × 0.994544482144054 × 6371000     		du = 1214.97457525813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10431275)-sin(-0.10450345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994564356613949-0.994544482144054)×R²
    abs(0.10469419-0.10450244)×1.98744698947095e-05×R²
    0.000191750000000004×1.98744698947095e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.98744698947095e-05×40589641000000     		ar = 1476147.74933567m²