Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16936 / 16936
↖ ↑ ↗
← S  6.053161°
E  6.064453°		 ← 1 214.83 m → S  6.053161°
E  6.075439°		 →
↑
1 214.82 m
↓
↑
1 214.82 m
↓
S  6.064086°
E  6.064453°		 ← 1 214.80 m →
1 475 785 m²		 S  6.064086°
E  6.075439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516860961914062 y=0.516860961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516860961914062 × 215)
    floor (0.516860961914062 × 32768)
    floor (16936.5)     		tx = 16936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516860961914062 × 215)
    floor (0.516860961914062 × 32768)
    floor (16936.5)     		ty = 16936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16936 / 16936 ti = "15/16936/16936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16936/16936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16936 ÷ 215
    16936 ÷ 32768     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16936 ÷ 215
    16936 ÷ 32768     		y = 0.516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.03369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.105844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.105844674361084))-π/2
    2×atan(0.899564362634389)-π/2
    2×0.732574366016704-π/2
    1.46514873203341-1.57079632675     		φ = -0.10564759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10564759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.053161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16936 KachelY 16936 0.10584467 -0.10564759 6.064453 -6.053161
    Oben rechts KachelX + 1 16937 KachelY 16936 0.10603642 -0.10564759 6.075439 -6.053161
    Unten links KachelX 16936 KachelY + 1 16937 0.10584467 -0.10583827 6.064453 -6.064086
    Unten rechts KachelX + 1 16937 KachelY + 1 16937 0.10603642 -0.10583827 6.075439 -6.064086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10564759--0.10583827) × R
    0.000190679999999999 × 6371000     		dl = 1214.82227999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10564759--0.10583827) × R
    0.000190679999999999 × 6371000     		dr = 1214.82227999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10603642) × cos(-0.10564759) × R
    0.000191750000000004 × 0.994424482147217 × 6371000     		do = 1214.82797855199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10603642) × cos(-0.10583827) × R
    0.000191750000000004 × 0.994404356640125 × 6371000     		du = 1214.8033924426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10564759)-sin(-0.10583827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994424482147217-0.994404356640125)×R²
    abs(0.10603642-0.10584467)×2.01255070920725e-05×R²
    0.000191750000000004×2.01255070920725e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.01255070920725e-05×40589641000000     		ar = 1475785.16530708m²