Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1696 / 2721
↖ ↑ ↗
← S 50.792047°
W 30.937500°		 ← 6 177.87 m → S 50.792047°
W 30.849610°		 →
↑
6 174.14 m
↓
↑
6 174.14 m
↓
S 50.847573°
W 30.937500°		 ← 6 170.52 m →
38 120 319 m²		 S 50.847573°
W 30.849610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4141845703125 y=0.6644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4141845703125 × 212)
    floor (0.4141845703125 × 4096)
    floor (1696.5)     		tx = 1696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6644287109375 × 212)
    floor (0.6644287109375 × 4096)
    floor (2721.5)     		ty = 2721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1696 / 2721 ti = "12/1696/2721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1696/2721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1696 ÷ 212
    1696 ÷ 4096     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2721 ÷ 212
    2721 ÷ 4096     		y = 0.664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.32861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03236907021753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03236907021753))-π/2
    2×atan(0.356162187070388)-π/2
    2×0.342153935855865-π/2
    0.684307871711729-1.57079632675     		φ = -0.88648846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88648846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.792047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1696 KachelY 2721 -0.53996124 -0.88648846 -30.937500 -50.792047
    Oben rechts KachelX + 1 1697 KachelY 2721 -0.53842726 -0.88648846 -30.849610 -50.792047
    Unten links KachelX 1696 KachelY + 1 2722 -0.53996124 -0.88745756 -30.937500 -50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 1697 KachelY + 1 2722 -0.53842726 -0.88745756 -30.849610 -50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88648846--0.88745756) × R
    0.000969099999999945 × 6371000     		dl = 6174.13609999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88648846--0.88745756) × R
    0.000969099999999945 × 6371000     		dr = 6174.13609999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53842726) × cos(-0.88648846) × R
    0.00153398000000005 × 0.632136858881542 × 6371000     		do = 6177.86503857285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53842726) × cos(-0.88745756) × R
    0.00153398000000005 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 6170.52346940079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88648846)-sin(-0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632136858881542-0.6313856484801)×R²
    abs(-0.53842726--0.53996124)×0.000751210401442437×R²
    0.00153398000000005×0.000751210401442437×6371000²
    0.00153398000000005×0.000751210401442437×40589641000000     		ar = 38120318.6153575m²