Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16968 / 16968
↖ ↑ ↗
← S  6.402649°
E  6.416016°		 ← 1 214.02 m → S  6.402649°
E  6.427002°		 →
↑
1 213.99 m
↓
↑
1 213.99 m
↓
S  6.413566°
E  6.416016°		 ← 1 213.99 m →
1 473 797 m²		 S  6.413566°
E  6.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517837524414062 y=0.517837524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517837524414062 × 215)
    floor (0.517837524414062 × 32768)
    floor (16968.5)     		tx = 16968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517837524414062 × 215)
    floor (0.517837524414062 × 32768)
    floor (16968.5)     		ty = 16968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16968 / 16968 ti = "15/16968/16968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16968/16968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16968 ÷ 215
    16968 ÷ 32768     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16968 ÷ 215
    16968 ÷ 32768     		y = 0.517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.03564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.111980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.111980597512451))-π/2
    2×atan(0.894061604351217)-π/2
    2×0.72952451563322-π/2
    1.45904903126644-1.57079632675     		φ = -0.11174730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11174730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.402649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16968 KachelY 16968 0.11198060 -0.11174730 6.416016 -6.402649
    Oben rechts KachelX + 1 16969 KachelY 16968 0.11217235 -0.11174730 6.427002 -6.402649
    Unten links KachelX 16968 KachelY + 1 16969 0.11198060 -0.11193785 6.416016 -6.413566
    Unten rechts KachelX + 1 16969 KachelY + 1 16969 0.11217235 -0.11193785 6.427002 -6.413566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11174730--0.11193785) × R
    0.000190550000000012 × 6371000     		dl = 1213.99405000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11174730--0.11193785) × R
    0.000190550000000012 × 6371000     		dr = 1213.99405000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(-0.11174730) × R
    0.000191750000000004 × 0.993762765127179 × 6371000     		do = 1214.01959906792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11217235) × cos(-0.11193785) × R
    0.000191750000000004 × 0.993741497927057 × 6371000     		du = 1213.99361822151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11174730)-sin(-0.11193785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993762765127179-0.993741497927057)×R²
    abs(0.11217235-0.11198060)×2.12672001214109e-05×R²
    0.000191750000000004×2.12672001214109e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.12672001214109e-05×40589641000000     		ar = 1473796.80401489m²